Номер 21, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 8$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Грань $DAB$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

3. Площадь основания пирамиды равна $24 \text{ см}^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 2 см.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Сначала найдём площадь основания — треугольника $ABC$. По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см².
По условию, грань $DAB$ перпендикулярна плоскости основания. Это значит, что высота пирамиды, опущенная из вершины $D$, лежит в плоскости этой грани. Так как грань $DAB$ — правильный (равносторонний) треугольник, то её высота, проведённая к стороне $AB$, будет являться и высотой всей пирамиды.
Сторона этого треугольника равна $AB = 8$ см. Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, высота пирамиды $H = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.

2. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.
Пирамида правильная четырёхугольная, следовательно, её основания — квадраты.
Площадь большего основания $S_1$ со стороной $a_1 = 6$ см:
$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².
Площадь меньшего основания $S_2$ со стороной $a_2 = 4$ см:
$S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².
Высота усечённой пирамиды дана по условию: $h = 3$ см.
Подставляем значения в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16}) = 1 \cdot (52 + \sqrt{576}) = 52 + 24 = 76$ см³.
Ответ: 76 см³.

3. Объём пирамиды можно найти через радиус вписанного в неё шара по формуле: $V = \frac{1}{3}rS_{полн}$, где $r$ — радиус вписанного шара, а $S_{полн}$ — площадь полной поверхности пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.
По условию $S_{осн} = 24$ см² и $r = 2$ см.
Так как все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha = 30^\circ$, площадь основания является ортогональной проекцией площади боковой поверхности. Поэтому их площади связаны соотношением:
$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$.
Отсюда найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(30^\circ)} = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см².
Теперь найдём площадь полной поверхности пирамиды:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24 + 16\sqrt{3}$ см².
Наконец, вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3}rS_{полн} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (24 + 16\sqrt{3}) = \frac{48 + 32\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{48 + 32\sqrt{3}}{3}$ см³.