Номер 19, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 8 см. Диагональ параллелепипеда равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$, $\angle ABC = \beta$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\gamma$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 4 см. Две противолежащие боковые грани параллелепипеда — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. Пусть стороны основания равны $a$ и $b$, тогда $V = a \cdot b \cdot h$. По условию, одна из сторон основания равна $a = 8$ см.

Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между диагональю $D$ и её проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания $d$. По условию, $D = 16$ см, и этот угол равен $45^\circ$.

Из этого прямоугольного треугольника находим высоту $h$ и диагональ основания $d$:
$h = D \cdot \sin(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.
$d = D \cdot \cos(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания связана со сторонами по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$. Подставим известные значения $d = 8\sqrt{2}$ см и $a = 8$ см:
$(8\sqrt{2})^2 = 8^2 + b^2$
$128 = 64 + b^2$
$b^2 = 128 - 64 = 64$
$b = 8$ см.

Теперь можем вычислить объём параллелепипеда:
$V = a \cdot b \cdot h = 8 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} = 512\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $512\sqrt{2}$ см³.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $\angle ABC = \beta$. Площадь этого треугольника равна:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\beta)$.

Высота прямой призмы $h$ равна длине её бокового ребра, например, $BB_1$. Угол $\gamma$ между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол. Его линейный угол можно построить, проведя перпендикуляры к линии пересечения плоскостей, которой является прямая $AC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как призма прямая ($BB_1 \perp$ плоскости $ABC$), то $B_1H$ является наклонной, а $BH$ — её проекцией на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $BH \perp AC$, то и наклонная $B_1H \perp AC$.

Следовательно, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $AB_1C$ и $ABC$, то есть $\angle B_1HB = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (угол $\angle B_1BH = 90^\circ$). Из него находим высоту призмы $h = BB_1$:
$\tan(\gamma) = \frac{BB_1}{BH} = \frac{h}{BH}$, откуда $h = BH \cdot \tan(\gamma)$.

Длину высоты основания $BH$ найдём из прямоугольного треугольника $ABH$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$ является также и биссектрисой, поэтому $\angle ABH = \frac{\beta}{2}$.
$BH = AB \cdot \cos(\angle ABH) = a \cdot \cos(\frac{\beta}{2})$.

Подставим найденное $BH$ в формулу для высоты призмы:
$h = a \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)$.

Теперь вычислим объём призмы:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2} a^2 \sin(\beta)\right) \cdot \left(a \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)\right) = \frac{1}{2} a^3 \sin(\beta) \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)$.

Ответ: $\frac{1}{2} a^3 \sin(\beta) \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)$.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Основанием является квадрат со стороной 4 см. Его площадь:
$S_{осн} = 4^2 = 16$ см².

Пусть основание — квадрат $ABCD$, а боковое ребро — $AA_1$. Из условия, две противоположные боковые грани — квадраты. Пусть грань $ABB_1A_1$ — квадрат. Тогда её сторона $AA_1$ равна стороне основания $AB$, то есть $AA_1 = AB = 4$ см. Также из того, что $ABB_1A_1$ — квадрат, следует, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно стороне основания $AB$ ($AA_1 \perp AB$).

Две другие боковые грани — ромбы с острым углом $60^\circ$. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Это ромб со сторонами $AD=4$ см и $AA_1=4$ см. Острый угол этого ромба равен $60^\circ$, пусть это будет $\angle A_1AD = 60^\circ$.

В основании $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны ($AB \perp AD$), так как это квадрат. Мы также знаем из условия, что $AA_1 \perp AB$. Поскольку ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AA_1$) в плоскости грани $ADD_1A_1$, то ребро $AB$ перпендикулярно всей этой плоскости.

Если прямая, лежащая в одной плоскости (прямая $AB$ в плоскости $ABCD$), перпендикулярна другой плоскости (плоскости $ADD_1A_1$), то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Таким образом, плоскость основания $ABCD$ перпендикулярна боковой грани $ADD_1A_1$.

Высота параллелепипеда $H$ — это длина перпендикуляра из точки $A_1$ к плоскости $ABCD$. Так как плоскость $ADD_1A_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, этот перпендикуляр лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и является высотой ромба $ADD_1A_1$, проведённой из вершины $A_1$ к стороне $AD$.

Найдём эту высоту из прямоугольного треугольника внутри ромба:
$H = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AD) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим объём параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot H = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см³.