Номер 13, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 13

Сфера и шар. Уравнение сферы

1. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (-2; 3; 4)$, $B (6; -3; 6)$.

2. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 3 см, 1 см и 2 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B_1$, $D$ и середину ребра $CC_1$.

1. Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.
Центр сферы является серединой диаметра $AB$. Найдем координаты центра $C$, используя формулу середины отрезка:
$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Таким образом, центр сферы — точка $C(2; 0; 5)$.
Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра $AB$. Найдем квадрат длины диаметра, используя формулу расстояния между двумя точками:
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 = (6 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2 + (6 - 4)^2 = 8^2 + (-6)^2 + 2^2 = 64 + 36 + 4 = 104$.
Квадрат радиуса $R^2$ равен четверти квадрата диаметра:
$R^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4} = \frac{104}{4} = 26$.
Подставим координаты центра и квадрат радиуса в каноническое уравнение сферы:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 5)^2 = 26$
$(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$.
Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$.

2. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ методом выделения полного квадрата.
Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
$x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) = 6$
Дополним выражения в скобках до полных квадратов, прибавляя и вычитая необходимые числа:
$y^2 + 2y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$
$z^2 - 6z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (z - 3)^2 - 9$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$x^2 + ((y + 1)^2 - 1) + ((z - 3)^2 - 9) = 6$
$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 6 + 1 + 9$
$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$
Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы, так как правая часть ($R^2=16$) положительна. Это доказывает, что исходное уравнение является уравнением сферы.
Из полученного уравнения находим координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:
Центр сферы: $C(0; -1; 3)$.
Квадрат радиуса: $R^2 = 16$, следовательно, радиус: $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Координаты центра $(0; -1; 3)$, радиус $R=4$.

3. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.
В этой системе координат точки имеют следующие координаты, исходя из длин ребер $AB=3$, $AD=1$, $AA_1=2$:
$A(0; 0; 0)$
$B(3; 0; 0)$, $D(0; 1; 0)$, $A_1(0; 0; 2)$
$B_1$ имеет координаты $(3; 0; 2)$.
$C$ имеет координаты $(3; 1; 0)$.
$C_1$ имеет координаты $(3; 1; 2)$.
Пусть $M$ — середина ребра $CC_1$. Ее координаты: $M\left(\frac{3+3}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = M(3; 1; 1)$.
Сфера проходит через точки $A(0; 0; 0)$, $B_1(3; 0; 2)$, $D(0; 1; 0)$ и $M(3; 1; 1)$.
Пусть центр сферы — точка $O(x; y; z)$, а ее радиус — $R$. Центр сферы равноудален от всех точек на ее поверхности, поэтому $OA^2 = OB_1^2 = OD^2 = OM^2 = R^2$.
Запишем квадраты расстояний:
$R^2 = OA^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$
$OD^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
$OB_1^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 + (z-2)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + z^2 - 4z + 4 = x^2+y^2+z^2-6x-4z+13$
$OM^2 = (x-3)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 2z + 1 = x^2+y^2+z^2-6x-2y-2z+11$
Приравняем $OA^2$ к остальным квадратам расстояний:
1) $OA^2 = OD^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \implies 0 = -2y + 1 \implies y = \frac{1}{2}$.
2) $OA^2 = OB_1^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2+y^2+z^2-6x-4z+13 \implies 0 = -6x - 4z + 13 \implies 6x + 4z = 13$.
3) $OA^2 = OM^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2+y^2+z^2-6x-2y-2z+11 \implies 0 = -6x - 2y - 2z + 11$.
Подставим $y = \frac{1}{2}$ в третье уравнение: $0 = -6x - 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2z + 11 \implies 0 = -6x - 1 - 2z + 11 \implies 6x + 2z = 10 \implies 3x + z = 5$.
Решим систему для $x$ и $z$: $\begin{cases} 6x + 4z = 13 \\ 3x + z = 5 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $z = 5 - 3x$ и подставим в первое: $6x + 4(5 - 3x) = 13 \implies 6x + 20 - 12x = 13 \implies -6x = -7 \implies x = \frac{7}{6}$.
Тогда $z = 5 - 3\left(\frac{7}{6}\right) = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$.
Координаты центра сферы: $O\left(\frac{7}{6}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)$.
Найдем квадрат радиуса: $R^2 = OA^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
$R^2 = \left(\frac{7}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{49}{36} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{49}{36} + \frac{10}{4} = \frac{49}{36} + \frac{90}{36} = \frac{139}{36}$.
Радиус сферы равен: $R = \sqrt{\frac{139}{36}} = \frac{\sqrt{139}}{6}$.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{139}}{6}$ см.