Номер 11, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 9 см, а высота — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Площади оснований усечённого конуса равны $9\text{ см}^2$ и $25\text{ см}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

3. В прямоугольном треугольнике катет равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, равного $\beta$, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию, радиусы оснований равны $R = 9$ см и $r = 6$ см, а высота $h = 4$ см. Найдем длину образующей $l$. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобокой трапецией. Проведём в ней высоту из вершины меньшего основания. Получим прямоугольный треугольник, у которого один катет — это высота конуса $h$, второй катет — разность радиусов оснований $(R - r)$, а гипотенуза — образующая $l$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R - r)^2$ $l^2 = 4^2 + (9 - 6)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ $l = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi (9 + 6) \cdot 5 = \pi \cdot 15 \cdot 5 = 75\pi$ см².

Ответ: $75\pi$ см².

2.

Пусть площади оснований усечённого конуса равны $S_1 = 9$ см² и $S_2 = 25$ см². Сечение, параллельное основаниям, также является кругом. Для конуса (и усечённого конуса) существует свойство, что корень квадратный из площади сечения, параллельного основанию, является линейной функцией высоты.

Поскольку сечение проведено через середину высоты, то радиус этого сечения $r_{сеч}$ будет равен среднему арифметическому радиусов оснований $r_1$ и $r_2$: $r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$.

Площадь сечения $S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi (\frac{r_1 + r_2}{2})^2$.

Зная площади оснований, мы можем выразить их радиусы: $S_1 = \pi r_1^2 \implies r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$ $S_2 = \pi r_2^2 \implies r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$

Тогда корень из площади сечения будет равен среднему арифметическому корней из площадей оснований: $\sqrt{S_{сеч}} = \sqrt{\pi} r_{сеч} = \sqrt{\pi} \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{\sqrt{\pi}r_1 + \sqrt{\pi}r_2}{2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$.

Подставим данные из условия: $\sqrt{S_{сеч}} = \frac{\sqrt{9} + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Тогда площадь сечения равна: $S_{сеч} = (\sqrt{S_{сеч}})^2 = 4^2 = 16$ см².

Ответ: $16$ см².

3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. По условию, катет $BC = b$, а противолежащий ему угол $\angle A = \beta$. Тогда второй катет $AC = \frac{BC}{\tan\beta} = b \cot\beta$, а гипотенуза $AB = \frac{BC}{\sin\beta} = \frac{b}{\sin\beta}$.

Треугольник вращается вокруг прямой $l$, которая проходит через вершину $A$ (вершину угла $\beta$) и перпендикулярна гипотенузе $AB$.

Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением катета $AC$, и поверхности, образованной вращением катета $BC$.

1. При вращении катета $AC$ вокруг оси $l$ образуется боковая поверхность конуса. Вершина этого конуса находится в точке $A$. Радиус основания этого конуса $r_C$ равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения $l$. Это расстояние равно проекции отрезка $AC$ на прямую $AB$. Обозначим эту проекцию $AH$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (где $H$ — основание высоты из $C$ на $AB$), $AH = AC \cdot \cos\beta$. $r_C = AH = (b \cot\beta) \cos\beta$. Образующая этого конуса равна длине катета $AC$. Площадь этой поверхности: $S_1 = \pi \cdot r_C \cdot AC = \pi (b \cot\beta \cos\beta) (b \cot\beta) = \pi b^2 \cot^2\beta \cos\beta$.

2. При вращении катета $BC$ вокруг оси $l$ образуется боковая поверхность усечённого конуса. Образующая этого усечённого конуса равна длине катета $BC = b$. Радиусы его оснований равны расстояниям от точек $B$ и $C$ до оси вращения $l$. Радиус $r_C$ мы уже нашли: $r_C = b \cot\beta \cos\beta$. Радиус $r_B$ равен расстоянию от точки $B$ до оси $l$. Так как ось проходит через $A$ и перпендикулярна $AB$, это расстояние равно длине гипотенузы $AB$. $r_B = AB = \frac{b}{\sin\beta}$. Площадь этой поверхности: $S_2 = \pi (r_B + r_C) \cdot BC = \pi (\frac{b}{\sin\beta} + b \cot\beta \cos\beta) \cdot b = \pi b^2 (\frac{1}{\sin\beta} + \cot\beta \cos\beta)$.

3. Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$: $S = S_1 + S_2 = \pi b^2 \cot^2\beta \cos\beta + \pi b^2 (\frac{1}{\sin\beta} + \cot\beta \cos\beta)$ $S = \pi b^2 (\cot^2\beta \cos\beta + \cot\beta \cos\beta + \frac{1}{\sin\beta})$ Вынесем общий множитель и приведём к общему знаменателю: $S = \pi b^2 \left( \frac{\cos^3\beta}{\sin^2\beta} + \frac{\cos^2\beta}{\sin\beta} + \frac{1}{\sin\beta} \right) = \pi b^2 \left( \frac{\cos^3\beta + \sin\beta\cos^2\beta + \sin\beta}{\sin^2\beta} \right)$ $S = \frac{\pi b^2}{\sin^2\beta} (\cos^2\beta(\cos\beta + \sin\beta) + \sin\beta)$.

Ответ: $\frac{\pi b^2}{\sin^2\beta} (\cos^2\beta(\cos\beta + \sin\beta) + \sin\beta)$.