Страница 8 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 9 см, а высота — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Площади оснований усечённого конуса равны $9\text{ см}^2$ и $25\text{ см}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

3. В прямоугольном треугольнике катет равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, равного $\beta$, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию, радиусы оснований равны $R = 9$ см и $r = 6$ см, а высота $h = 4$ см. Найдем длину образующей $l$. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобокой трапецией. Проведём в ней высоту из вершины меньшего основания. Получим прямоугольный треугольник, у которого один катет — это высота конуса $h$, второй катет — разность радиусов оснований $(R - r)$, а гипотенуза — образующая $l$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R - r)^2$ $l^2 = 4^2 + (9 - 6)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ $l = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi (9 + 6) \cdot 5 = \pi \cdot 15 \cdot 5 = 75\pi$ см².

Ответ: $75\pi$ см².

2.

Пусть площади оснований усечённого конуса равны $S_1 = 9$ см² и $S_2 = 25$ см². Сечение, параллельное основаниям, также является кругом. Для конуса (и усечённого конуса) существует свойство, что корень квадратный из площади сечения, параллельного основанию, является линейной функцией высоты.

Поскольку сечение проведено через середину высоты, то радиус этого сечения $r_{сеч}$ будет равен среднему арифметическому радиусов оснований $r_1$ и $r_2$: $r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$.

Площадь сечения $S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi (\frac{r_1 + r_2}{2})^2$.

Зная площади оснований, мы можем выразить их радиусы: $S_1 = \pi r_1^2 \implies r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$ $S_2 = \pi r_2^2 \implies r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$

Тогда корень из площади сечения будет равен среднему арифметическому корней из площадей оснований: $\sqrt{S_{сеч}} = \sqrt{\pi} r_{сеч} = \sqrt{\pi} \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{\sqrt{\pi}r_1 + \sqrt{\pi}r_2}{2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$.

Подставим данные из условия: $\sqrt{S_{сеч}} = \frac{\sqrt{9} + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Тогда площадь сечения равна: $S_{сеч} = (\sqrt{S_{сеч}})^2 = 4^2 = 16$ см².

Ответ: $16$ см².

3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. По условию, катет $BC = b$, а противолежащий ему угол $\angle A = \beta$. Тогда второй катет $AC = \frac{BC}{\tan\beta} = b \cot\beta$, а гипотенуза $AB = \frac{BC}{\sin\beta} = \frac{b}{\sin\beta}$.

Треугольник вращается вокруг прямой $l$, которая проходит через вершину $A$ (вершину угла $\beta$) и перпендикулярна гипотенузе $AB$.

Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением катета $AC$, и поверхности, образованной вращением катета $BC$.

1. При вращении катета $AC$ вокруг оси $l$ образуется боковая поверхность конуса. Вершина этого конуса находится в точке $A$. Радиус основания этого конуса $r_C$ равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения $l$. Это расстояние равно проекции отрезка $AC$ на прямую $AB$. Обозначим эту проекцию $AH$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (где $H$ — основание высоты из $C$ на $AB$), $AH = AC \cdot \cos\beta$. $r_C = AH = (b \cot\beta) \cos\beta$. Образующая этого конуса равна длине катета $AC$. Площадь этой поверхности: $S_1 = \pi \cdot r_C \cdot AC = \pi (b \cot\beta \cos\beta) (b \cot\beta) = \pi b^2 \cot^2\beta \cos\beta$.

2. При вращении катета $BC$ вокруг оси $l$ образуется боковая поверхность усечённого конуса. Образующая этого усечённого конуса равна длине катета $BC = b$. Радиусы его оснований равны расстояниям от точек $B$ и $C$ до оси вращения $l$. Радиус $r_C$ мы уже нашли: $r_C = b \cot\beta \cos\beta$. Радиус $r_B$ равен расстоянию от точки $B$ до оси $l$. Так как ось проходит через $A$ и перпендикулярна $AB$, это расстояние равно длине гипотенузы $AB$. $r_B = AB = \frac{b}{\sin\beta}$. Площадь этой поверхности: $S_2 = \pi (r_B + r_C) \cdot BC = \pi (\frac{b}{\sin\beta} + b \cot\beta \cos\beta) \cdot b = \pi b^2 (\frac{1}{\sin\beta} + \cot\beta \cos\beta)$.

3. Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$: $S = S_1 + S_2 = \pi b^2 \cot^2\beta \cos\beta + \pi b^2 (\frac{1}{\sin\beta} + \cot\beta \cos\beta)$ $S = \pi b^2 (\cot^2\beta \cos\beta + \cot\beta \cos\beta + \frac{1}{\sin\beta})$ Вынесем общий множитель и приведём к общему знаменателю: $S = \pi b^2 \left( \frac{\cos^3\beta}{\sin^2\beta} + \frac{\cos^2\beta}{\sin\beta} + \frac{1}{\sin\beta} \right) = \pi b^2 \left( \frac{\cos^3\beta + \sin\beta\cos^2\beta + \sin\beta}{\sin^2\beta} \right)$ $S = \frac{\pi b^2}{\sin^2\beta} (\cos^2\beta(\cos\beta + \sin\beta) + \sin\beta)$.

Ответ: $\frac{\pi b^2}{\sin^2\beta} (\cos^2\beta(\cos\beta + \sin\beta) + \sin\beta)$.

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 2 см и 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, высота — 3 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1.

Конус описан около пирамиды, значит, основание пирамиды (прямоугольник) вписано в основание конуса (окружность), а их вершины совпадают. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника.

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Найдем диагональ $d$ по теореме Пифагора, где стороны прямоугольника $a=18$ см и $b=24$ см:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.

Радиус основания конуса равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания одинаковый угол $30^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания (точку пересечения диагоналей прямоугольника). Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и радиусом $R$ (проекцией бокового ребра на основание). В этом треугольнике $R$ является прилежащим катетом к углу $30^\circ$, а $H$ — противолежащим.
$H = R \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру конуса $2R$, и высотой $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3}$ см².

Ответ: $75\sqrt{3}$ см².

2.

Конус вписан в пирамиду, значит, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (равнобокую трапецию), а их вершины совпадают.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $60^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Радиус основания конуса $r$ равен радиусу этой окружности.

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма длин ее оснований должна быть равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a=32$ см и $b=2$ см, а боковая сторона — $c$. Тогда:
$a+b = 2c \implies 32+2 = 2c \implies c = 17$ см.

Высота трапеции $h_{трап}$ является диаметром вписанной окружности ($h_{трап}=2r$). Найдем высоту, проведя ее из вершины меньшего основания. Она образует прямоугольный треугольник с боковой стороной $c$ (гипотенуза) и катетом, равным полуразности оснований:
Катет = $\frac{a-b}{2} = \frac{32-2}{2} = 15$ см.
По теореме Пифагора:
$h_{трап} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания конуса):
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проекцией апофемы) равен углу наклона боковой грани, то есть $60^\circ$.
$H = r \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

3.

Около усеченного конуса описана правильная усеченная треугольная пирамида. Это означает, что основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники).

Найдем радиус $r$ меньшего основания конуса. Он равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a_1 = 6$ см.
$r = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Двугранный угол усеченной пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру основания, проходящее через апофемы. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию, где одна из боковых сторон — высота усеченной пирамиды $H=3$ см, а основания — радиусы вписанных окружностей $R$ и $r$. Наклонная боковая сторона — это апофема усеченной пирамиды. Угол между апофемой и радиусом $R$ равен $30^\circ$.

В этой трапеции, опустив высоту из конца меньшего основания на большее, получим прямоугольный треугольник. Его катеты равны $H$ и $R-r$, а гипотенуза — апофема пирамиды. Угол при основании $R$ равен $30^\circ$.
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R-r} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{R-r}$.
Отсюда $R-r = 3\sqrt{3}$.
$R = r + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса нужна его образующая $L$. Образующая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$ и разностью радиусов $R-r$.
$L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)L = \pi(4\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot 6 = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 6 = 30\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $30\pi\sqrt{3}$ см².