Страница 6 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ (2; -1; 2) и $\vec{b}$ (-4; 1; 3).

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Найдите:

1) $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$; 2) $|2\vec{a} + 3\vec{b}|$.

3. Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что $AB = BC = AA_1$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите угол между прямыми $A_1C$ и $AB$.

1.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Даны векторы $\vec{a}(2; -1; 2)$ и $\vec{b}(-4; 1; 3)$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -8 - 1 + 6 = -3$

2. Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{26}} = \frac{-1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{26}}{26}$

2.

Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, а угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

1) Найдите $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$.

Используем свойства скалярного произведения (распределительный закон):

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a} = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot \vec{a}$

Помним, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$) и что $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

$2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2 \cdot (3)^2 + 3 \cdot 3 = 2 \cdot 9 + 9 = 18 + 9 = 27$

Ответ: 27

2) Найдите $|2\vec{a} + 3\vec{b}|$.

Модуль вектора равен квадратному корню из скалярного квадрата этого вектора: $|\vec{c}| = \sqrt{\vec{c} \cdot \vec{c}} = \sqrt{|\vec{c}|^2}$.

Найдем сначала квадрат модуля:

$|2\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 3\vec{b})$

Раскроем скобки, используя распределительный закон:

$(2\vec{a} \cdot 2\vec{a}) + (2\vec{a} \cdot 3\vec{b}) + (3\vec{b} \cdot 2\vec{a}) + (3\vec{b} \cdot 3\vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Упростим выражение:

$4|\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$

Подставим известные значения:

$4 \cdot (3)^2 + 12 \cdot 3 + 9 \cdot (2)^2 = 4 \cdot 9 + 36 + 9 \cdot 4 = 36 + 36 + 36 = 108$

Теперь найдем сам модуль, извлекая квадратный корень:

$|2\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$

3.

Для нахождения угла между прямыми $A_1C$ и $AB$ воспользуемся векторным методом. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами $\vec{A_1C}$ и $\vec{AB}$.

Введем систему координат. Пусть точка $B$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Направим ось $Bx$ вдоль прямой $BC$. Так как призма прямая, ось $Bz$ направим вдоль ребра $BB_1$.

Пусть сторона основания и боковое ребро равны $a$, т.е. $AB = BC = AA_1 = a$.

Определим координаты вершин:

$B(0, 0, 0)$.

$C(a, 0, 0)$, так как $BC=a$ и лежит на оси $Bx$.

Для нахождения координат точки $A$ используем то, что $AB=a$ и $\angle ABC = 120^\circ$. В плоскости $xy$ координаты точки $A$ будут $(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0)$.

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $A(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Призма прямая, поэтому $A_1$ имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $A$, а координата $z$ равна высоте призмы $AA_1 = a$.

$A_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов:

$\vec{AB} = A - B = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) - (0, 0, 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (a, 0, 0) - (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a) = (a + \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - a) = (\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, -a)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{A_1C}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{A_1C}|}$ (берем модуль скалярного произведения, так как ищем острый угол между прямыми).

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{A_1C} = (-\frac{a}{2}) \cdot (\frac{3a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (0) \cdot (-a) = -\frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + 0 = -\frac{6a^2}{4} = -\frac{3a^2}{2}$.

Вычислим длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Подставим значения в формулу косинуса:

$\cos \theta = \frac{|-\frac{3a^2}{2}|}{a \cdot 2a} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{2a^2} = \frac{3a^2}{4a^2} = \frac{3}{4}$.

Искомый угол $\theta = \arccos(\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arccos(\frac{3}{4})$

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (2; 3; -1)$ и перпендикулярной прямой $AB$, если $A (2; -6; 4)$, $B (6; -3; 5)$.

2. Докажите, что плоскости $2x - y + 4z - 20 = 0$ и $3x - 14y - 5z + 32 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 2 см, 1 см и 3 см. Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BA_1D$.

1.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию, плоскость проходит через точку $M(2; 3; -1)$. Значит, $x_0=2$, $y_0=3$, $z_0=-1$.

Плоскость перпендикулярна прямой AB. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ является нормальным вектором $\vec{n}$ для этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(2; -6; 4)$ и $B(6; -3; 5)$:

$\vec{n} = \vec{AB} = (6 - 2; -3 - (-6); 5 - 4) = (4; 3; 1)$.

Таким образом, $A=4$, $B=3$, $C=1$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$4(x - 2) + 3(y - 3) + 1(z - (-1)) = 0$

$4(x - 2) + 3(y - 3) + (z + 1) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить общее уравнение плоскости:

$4x - 8 + 3y - 9 + z + 1 = 0$

$4x + 3y + z - 16 = 0$

Ответ: $4x + 3y + z - 16 = 0$.

2.

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$ перпендикулярны.

Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$, или $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Для первой плоскости $2x - y + 4z - 20 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2; -1; 4)$.

Для второй плоскости $3x - 14y - 5z + 32 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3; -14; -5)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-14) + 4 \cdot (-5) = 6 + 14 - 20 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, и сами плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение нормальных векторов плоскостей равно 0, следовательно, плоскости перпендикулярны.

3.

Введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $A$ прямоугольного параллелепипеда в начало координат $A(0; 0; 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Согласно условию, длины ребер: $AB = 2$, $AD = 1$, $AA_1 = 3$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

• $B(2; 0; 0)$
• $D(0; 1; 0)$
• $A_1(0; 0; 3)$
• $C_1(2; 1; 3)$

Чтобы найти расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BA_1D$, сначала составим уравнение этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно найти, определив её нормальный вектор.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $BA_1D$, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{DB} = (2-0; 0-1; 0-0) = (2; -1; 0)$

$\vec{DA_1} = (0-0; 0-1; 3-0) = (0; -1; 3)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) = -3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (-3; -6; -2)$. Для удобства можно взять коллинеарный ему вектор, умножив на -1: $\vec{n'} = (3; 6; 2)$.

Теперь составим уравнение плоскости, используя нормальный вектор $\vec{n'} = (3; 6; 2)$ и точку $D(0; 1; 0)$, лежащую в плоскости:

$3(x - 0) + 6(y - 1) + 2(z - 0) = 0$

$3x + 6y - 6 + 2z = 0$

$3x + 6y + 2z - 6 = 0$

Расстояние $d$ от точки $M(x_1; y_1; z_1)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим координаты точки $C_1(2; 1; 3)$ и коэффициенты уравнения плоскости $3x + 6y + 2z - 6 = 0$:

$d = \frac{|3 \cdot 2 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 6 + 6 - 6|}{\sqrt{9 + 36 + 4}} = \frac{|12|}{\sqrt{49}} = \frac{12}{7}$.

Ответ: $\frac{12}{7}$ см.

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AC = 8$ см, $\angle ACD = 30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $10\sqrt{2}$ см$^2$ и $20$ см$^2$. Угол между плоскостями сечений равен $45^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.

1.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны равны $h$ (высота цилиндра) и $D$ (диаметр основания). Диагональ этого прямоугольника $d = 8$ см, и она образует с плоскостью основания (то есть с диаметром $D$) угол $\alpha = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, диаметром $D$ и диагональю $d$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой.

Высоту цилиндра $h$ можно найти как катет, противолежащий углу $\alpha$:

$h = d \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Диаметр основания $D$ можно найти как катет, прилежащий к углу $\alpha$:

$D = d \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Радиус основания $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$ или $S_{бок} = \pi Dh$.

$S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\pi\sqrt{3}$ см².

2.

Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник $ABCD$. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности его основания $C = 2\pi r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором гипотенуза $AC = 8$ см, а угол $\angle ACD = 30^\circ$. Найдем стороны прямоугольника $AD$ и $CD$:

$AD = AC \cdot \sin(\angle ACD) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$CD = AC \cdot \cos(\angle ACD) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

По условию, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра. Сравним длины сторон: $4 < 4\sqrt{3}$. Следовательно, высота цилиндра $h = AD = 4$ см. Тогда длина окружности основания $C = CD = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус основания $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:

$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{4\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей оснований $2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности равна площади развёртки:

$S_{бок} = AD \cdot CD = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Площадь одного основания вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{\pi^2} = \frac{12}{\pi}$ см².

Тогда площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 16\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{12}{\pi} = 16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см².

3.

Пусть высота цилиндра (длина образующей) равна $h$. Сечения, проходящие через образующую, являются прямоугольниками, одна сторона которых равна $h$, а другая — хорде в основании цилиндра.

Пусть первое сечение имеет площадь $S_1 = 10\sqrt{2}$ см², а второе — $S_2 = 20$ см². Пусть $a_1$ и $a_2$ — длины соответствующих хорд в основании. Тогда:

$S_1 = a_1 h = 10\sqrt{2} \implies a_1 = \frac{10\sqrt{2}}{h}$

$S_2 = a_2 h = 20 \implies a_2 = \frac{20}{h}$

Оба сечения проходят через одну образующую. Это означает, что соответствующие хорды $a_1$ и $a_2$ имеют общую точку на окружности основания. Угол между плоскостями сечений равен углу между этими хордами, то есть $\alpha = 45^\circ$.

Требуется найти площадь третьего сечения, проходящего через две другие образующие данных сечений. Основанием этого сечения будет хорда $a_3$, соединяющая концы хорд $a_1$ и $a_2$. Площадь этого сечения будет $S_3 = a_3 h$.

Рассмотрим треугольник в основании, образованный хордами $a_1$, $a_2$ и $a_3$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$a_3^2 = a_1^2 + a_2^2 - 2a_1 a_2 \cos(\alpha)$

Подставим выражения для $a_1$ и $a_2$:

$a_3^2 = \left(\frac{10\sqrt{2}}{h}\right)^2 + \left(\frac{20}{h}\right)^2 - 2 \cdot \frac{10\sqrt{2}}{h} \cdot \frac{20}{h} \cdot \cos(45^\circ)$

$a_3^2 = \frac{100 \cdot 2}{h^2} + \frac{400}{h^2} - 2 \cdot \frac{200\sqrt{2}}{h^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a_3^2 = \frac{200}{h^2} + \frac{400}{h^2} - \frac{400 \cdot 2}{2h^2}$

$a_3^2 = \frac{600}{h^2} - \frac{400}{h^2} = \frac{200}{h^2}$

Отсюда найдем длину хорды $a_3$:

$a_3 = \sqrt{\frac{200}{h^2}} = \frac{\sqrt{200}}{h} = \frac{10\sqrt{2}}{h}$

Теперь найдем площадь третьего сечения $S_3$:

$S_3 = a_3 h = \frac{10\sqrt{2}}{h} \cdot h = 10\sqrt{2}$ см².

Ответ: $10\sqrt{2}$ см².