Номер 15, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 15

Многогранники, вписанные в сферу

1. Основанием прямой призмы является треугольник, одна из сторон которого равна 5 см, а противолежащий ей угол равен $30^\circ$. Высота призмы равна 24 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

2. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро — $6\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

3. Каждое боковое ребро пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

1.

Радиус шара $R$, описанного около прямой призмы, можно найти по формуле: $R = \sqrt{r^2 + (\frac{H}{2})^2}$, где $r$ — радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы.

Высота призмы дана: $H = 24$ см.

Основанием призмы является треугольник, у которого сторона $a = 5$ см, а противолежащий ей угол $\alpha = 30^{\circ}$. Радиус описанной около этого треугольника окружности $r$ можно найти, используя следствие из теоремы синусов: $\frac{a}{\sin\alpha} = 2r$.

Отсюда, $r = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Подставим известные значения: $r = \frac{5}{2\sin30^{\circ}} = \frac{5}{2 \cdot 0.5} = \frac{5}{1} = 5$ см.

Теперь, когда мы знаем $r$ и $H$, можем найти радиус описанного шара $R$: $R = \sqrt{5^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{25 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

2.

Все вершины правильной усечённой пирамиды лежат на описанной сфере. Центр этой сферы лежит на оси пирамиды. Рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вершины которой также лежат на сфере. Окружность, описанная вокруг этой трапеции, является большим кругом описанной сферы, и её радиус равен радиусу сферы $R$.

Основаниями этой трапеции являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях усечённой пирамиды. Пусть стороны оснований $a_1 = 12$ см и $a_2 = 8$ см.

Длина диагоналей оснований: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см. $d_2 = a_2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Боковыми сторонами трапеции являются боковые рёбра усечённой пирамиды, $l = 6\sqrt{2}$ см.

Найдём высоту усечённой пирамиды $H$, которая также является высотой нашей трапеции. Её можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l$, высотой $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции равна полуразности диагоналей: $\frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора: $H^2 = l^2 - (\frac{d_1 - d_2}{2})^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 72 - 8 = 64$. $H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной вокруг этой трапеции. Разместим трапецию в системе координат так, чтобы её ось симметрии совпадала с осью $Oy$, а основания были параллельны оси $Ox$ и находились на высоте $y = H/2 = 4$ и $y = -H/2 = -4$.

Координаты вершин трапеции будут: Верхнее основание: $(\frac{d_2}{2}, \frac{H}{2}) = (4\sqrt{2}, 4)$. Нижнее основание: $(\frac{d_1}{2}, -\frac{H}{2}) = (6\sqrt{2}, -4)$.

Центр описанной окружности $O$ имеет координаты $(0, y_0)$. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу $R$. $R^2 = (4\sqrt{2} - 0)^2 + (4 - y_0)^2 = 32 + (4 - y_0)^2$. $R^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (-4 - y_0)^2 = 72 + (-4 - y_0)^2$.

Приравняем правые части: $32 + (4 - y_0)^2 = 72 + (-4 - y_0)^2$ $32 + 16 - 8y_0 + y_0^2 = 72 + 16 + 8y_0 + y_0^2$ $48 - 8y_0 = 88 + 8y_0$ $16y_0 = 48 - 88 = -40$ $y_0 = -\frac{40}{16} = -2.5$.

Теперь найдём $R^2$: $R^2 = 32 + (4 - (-2.5))^2 = 32 + (6.5)^2 = 32 + 42.25 = 74.25$.

$R = \sqrt{74.25} = \sqrt{\frac{297}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 33}}{2} = \frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

3.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны $b$ и образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $b$ (гипотенуза), высотой пирамиды $H$ и радиусом $r$ описанной около основания окружности (катеты). Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом $r$) равен $\alpha$.

Из этого треугольника получаем: $H = b \sin\alpha$ $r = b \cos\alpha$

Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и одно из боковых рёбер. В сечении получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b$ и основанием $2r$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, её радиус $R$ и есть искомый радиус.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны, а $S$ - площадь. Для нашего треугольника в сечении стороны равны $b, b, 2r$. Площадь этого треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.

Подставим в формулу: $R = \frac{b \cdot b \cdot 2r}{4 \cdot (rH)} = \frac{2b^2r}{4rH} = \frac{b^2}{2H}$.

Теперь подставим выражение для высоты $H = b \sin\alpha$: $R = \frac{b^2}{2(b \sin\alpha)} = \frac{b}{2\sin\alpha}$.

Ответ: $\frac{b}{2\sin\alpha}$.