Номер 4, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{c}$, сначала найдем его координаты. Вектор $\vec{c}$ определяется как $\vec{c} = -3\vec{a} + \vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}(4; 0; -3)$ и $\vec{b}(4; -6; -3)$.

1. Найдем координаты вектора $-3\vec{a}$:

$-3\vec{a} = -3 \cdot (4; 0; -3) = (-3 \cdot 4; -3 \cdot 0; -3 \cdot (-3)) = (-12; 0; 9)$.

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$, сложив векторы $-3\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{c} = (-12; 0; 9) + (4; -6; -3) = (-12 + 4; 0 + (-6); 9 + (-3)) = (-8; -6; 6)$.

3. Модуль (длина) вектора $\vec{c}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{c}(-8; -6; 6)$ в формулу:

$|\vec{c}| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36 + 36} = \sqrt{136}$.

4. Упростим полученный результат:

$\sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.

Ответ: $2\sqrt{34}$.

Дан вектор $\vec{n}(-3; 4; -5)$. Нужно найти координаты вектора $\vec{m}$, который сонаправлен с вектором $\vec{n}$ и имеет модуль $|\vec{m}| = 10\sqrt{2}$.

1. Условие сонаправленности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что существует такое положительное число $k > 0$, что $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

2. Координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{n}$ и коэффициент $k$:

$\vec{m} = (k \cdot (-3); k \cdot 4; k \cdot (-5)) = (-3k; 4k; -5k)$.

3. Найдем модуль вектора $\vec{m}$ через $k$:

$|\vec{m}| = \sqrt{(-3k)^2 + (4k)^2 + (-5k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2 + 25k^2} = \sqrt{50k^2}$.

4. Так как $k > 0$, то $\sqrt{k^2} = k$. Упростим выражение:

$\sqrt{50k^2} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{k^2} = \sqrt{25 \cdot 2} \cdot k = 5\sqrt{2} \cdot k$.

5. По условию, $|\vec{m}| = 10\sqrt{2}$. Приравняем полученные выражения для модуля и решим уравнение относительно $k$:

$5\sqrt{2} \cdot k = 10\sqrt{2}$

$k = \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$.

6. Теперь, зная $k=2$, найдем координаты вектора $\vec{m}$:

$\vec{m} = (-3 \cdot 2; 4 \cdot 2; -5 \cdot 2) = (-6; 8; -10)$.

Ответ: $(-6; 8; -10)$.

Чтобы доказать, что четырехугольник MPFK с вершинами M(-2; 3; -5), P(2; 5; 2), F(4; 1; 6) и K(-4; -3; -8) является трапецией, нужно показать, что две его противоположные стороны параллельны, а две другие — нет.

1. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника:

$\vec{MP} = (2 - (-2); 5 - 3; 2 - (-5)) = (4; 2; 7)$

$\vec{PF} = (4 - 2; 1 - 5; 6 - 2) = (2; -4; 4)$

$\vec{FK} = (-4 - 4; -3 - 1; -8 - 6) = (-8; -4; -14)$

$\vec{KM} = (-2 - (-4); 3 - (-3); -5 - (-8)) = (2; 6; 3)$

2. Проверим стороны на параллельность. Два вектора параллельны (коллинеарны), если их соответствующие координаты пропорциональны.

Сравним векторы противоположных сторон $\vec{MP}$ и $\vec{FK}$:

$\vec{MP} = (4; 2; 7)$

$\vec{FK} = (-8; -4; -14)$

Проверим отношение их координат:

$\frac{-8}{4} = -2$; $\frac{-4}{2} = -2$; $\frac{-14}{7} = -2$.

Так как отношения координат равны, то векторы коллинеарны: $\vec{FK} = -2 \cdot \vec{MP}$. Следовательно, стороны MP и FK параллельны.

3. Теперь сравним векторы другой пары противоположных сторон $\vec{PF}$ и $\vec{KM}$:

$\vec{PF} = (2; -4; 4)$

$\vec{KM} = (2; 6; 3)$

Проверим отношение их координат:

$\frac{2}{2} = 1$; $\frac{6}{-4} = -1.5$.

Так как $1 \ne -1.5$, отношения координат не равны, следовательно, векторы не коллинеарны. Это означает, что стороны PF и KM не параллельны.

4. Поскольку у четырехугольника MPFK две противоположные стороны (MP и FK) параллельны, а две другие (PF и KM) — не параллельны, данный четырехугольник является трапецией.

Ответ: Что и требовалось доказать.