Номер 9, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол $30^{\circ}$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

2. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{362}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1.Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 10$ см и $b = 24$ см. Так как цилиндр описан около призмы, то его основанием является окружность, описанная около треугольника в основании призмы.
1. Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
2. Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.
Это и есть радиус основания цилиндра.
3. Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы. Диагональ боковой грани, содержащей больший катет ($b = 24$ см), образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Эта диагональ, высота призмы и больший катет образуют прямоугольный треугольник, в котором высота призмы $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а больший катет основания $b$ - прилежащим катетом.
Отсюда:
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{b}$
$h = b \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.
4. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = 2\pi R(R + h)$.
Подставим найденные значения $R$ и $h$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 13 (13 + 8\sqrt{3}) = 26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.
Ответ: $26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.

2.Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $h$. Высоты обеих призм также равны $h$.
1. Для правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, основанием является правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Сторона такого шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R$.
Периметр основания шестиугольной призмы: $P_6 = 6 \cdot a_6 = 6R$.
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы: $S_6 = P_6 \cdot h = 6Rh$.
2. Для правильной четырехугольной призмы, описанной около цилиндра, основанием является квадрат, описанный около окружности радиуса $R$. Сторона такого квадрата $a_4$ равна диаметру вписанной окружности: $a_4 = 2R$.
Периметр основания четырехугольной призмы: $P_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot (2R) = 8R$.
Площадь боковой поверхности четырехугольной призмы: $S_4 = P_4 \cdot h = 8Rh$.
3. Найдем отношение площадей боковых поверхностей этих призм (шестиугольной к четырехугольной):
$\frac{S_6}{S_4} = \frac{6Rh}{8Rh} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

3.Поскольку в призму вписан цилиндр, в ее основание (равнобокую трапецию) можно вписать окружность.
1. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a = 18$ см и $b = 8$ см, а боковая сторона - $c$. Тогда:
$a + b = 2c \implies 18 + 8 = 2c \implies 26 = 2c \implies c = 13$ см.
2. Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Она является диаметром вписанной окружности. Проведем высоту из вершины меньшего основания. Она отсекает от большего основания отрезок длиной $\frac{a-b}{2} = \frac{18-8}{2} = 5$ см. Из полученного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$h_{трап} = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
3. Радиус вписанной в трапецию окружности (и радиус основания вписанного цилиндра) $r$ равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
4. Найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы $D_{призмы}$, диагональ основания $d_{осн}$ и высота призмы $H$ связаны соотношением $D_{призмы}^2 = d_{осн}^2 + H^2$.
Найдем квадрат диагонали трапеции. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой трапеции и частью большего основания ($a - \frac{a-b}{2} = 18 - 5 = 13$ см):
$d_{осн}^2 = h_{трап}^2 + (13)^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$.
Теперь найдем высоту призмы:
$H^2 = D_{призмы}^2 - d_{осн}^2 = (\sqrt{362})^2 - 313 = 362 - 313 = 49$.
$H = \sqrt{49} = 7$ см.
5. Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$.
$S_{бок} = 2\pi \cdot 6 \cdot 7 = 84\pi$ см$^2$.
Ответ: $84\pi$ см$^2$.