Номер 17, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения, вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 6,5 см, вписан цилиндр, радиус основания которого равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 6 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 7,5 см. Найдите высоту конуса.

1.

Обозначим радиус шара как $R_{ш}$, радиус основания цилиндра как $r_{ц}$, а высоту цилиндра как $h$. По условию, $R_{ш} = 6,5$ см и $r_{ц} = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = 2 \pi r_{ц} h$. Для нахождения площади нам необходимо определить высоту цилиндра $h$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. Сечением шара будет большая окружность радиуса $R_{ш}$, а сечением цилиндра — вписанный в нее прямоугольник со сторонами $2r_{ц}$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара (гипотенуза), радиусом основания цилиндра (катет) и половиной высоты цилиндра (второй катет). По теореме Пифагора:

$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения:

$6,5^2 = 6^2 + (\frac{h}{2})^2$

$42,25 = 36 + \frac{h^2}{4}$

$\frac{h^2}{4} = 42,25 - 36$

$\frac{h^2}{4} = 6,25$

$h^2 = 6,25 \cdot 4 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{\text{бок}} = 2 \pi r_{ц} h = 2 \pi \cdot 6 \cdot 5 = 60\pi$ $ \text{см}^2$.

Ответ: $60\pi \text{ см}^2$.

2.

Пусть $R_{ш}$ — искомый радиус шара, описанного около усеченного конуса. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, вписанную в большую окружность описанного шара. Радиус этой окружности и есть $R_{ш}$.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2R$ и $BC=2r$. Диагональ трапеции $AC$ образует с плоскостью нижнего основания угол $\alpha$, что в осевом сечении соответствует углу $\angle CAD = \alpha$.

Проведем высоту $CK$ из точки $C$ на основание $AD$. В трапеции $ABCD$ отрезок $DK = \frac{AD-BC}{2} = \frac{2R-2r}{2} = R-r$. Тогда отрезок $AK = AD - DK = 2R - (R-r) = R+r$.

Из прямоугольного треугольника $ACK$:

Высота трапеции $h = CK = AK \cdot \tan\alpha = (R+r)\tan\alpha$.

Диагональ $d = AC = \frac{AK}{\cos\alpha} = \frac{R+r}{\cos\alpha}$.

Образующая конуса $l=CD$. Из прямоугольного треугольника $CKD$ по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{CK^2 + DK^2} = \sqrt{((R+r)\tan\alpha)^2 + (R-r)^2}$.

Радиус $R_{ш}$ является радиусом окружности, описанной около треугольника $ACD$. По следствию из теоремы синусов для $\triangle ACD$:

$2R_{ш} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Из $\triangle CKD$, $\sin(\angle ADC) = \sin(\angle KDC) = \frac{CK}{CD} = \frac{h}{l}$.

Подставим выражения для $AC$ и $\sin(\angle ADC)$:

$2R_{ш} = \frac{(R+r)/\cos\alpha}{h/l} = \frac{l(R+r)}{h\cos\alpha}$

Заменим $h$ на $(R+r)\tan\alpha$:

$2R_{ш} = \frac{l(R+r)}{(R+r)\tan\alpha \cos\alpha} = \frac{l}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cos\alpha} = \frac{l}{\sin\alpha}$

Отсюда $R_{ш} = \frac{l}{2\sin\alpha}$.

Подставим найденное ранее выражение для $l$:

$R_{ш} = \frac{\sqrt{((R+r)\tan\alpha)^2 + (R-r)^2}}{2\sin\alpha}$.

Это выражение можно упростить. Возведем в квадрат и преобразуем числитель:

$((R+r)\tan\alpha)^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + (R-r)^2 = \frac{(R+r)^2\sin^2\alpha + (R-r)^2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

$= \frac{(R^2+2Rr+r^2)\sin^2\alpha + (R^2-2Rr+r^2)\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

$= \frac{R^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + r^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + 2Rr(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)}{\cos^2\alpha} = \frac{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha)}{\cos^2\alpha}$

Тогда $R_{ш} = \frac{1}{2\sin\alpha}\sqrt{\frac{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha)}{\cos^2\alpha}} = \frac{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha)}}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{((R+r)\tan\alpha)^2 + (R-r)^2}}{2\sin\alpha}$ или в другом виде $\frac{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)}$.

3.

Обозначим радиус основания конуса как $r_{к}$, высоту конуса как $h$, радиус описанного шара как $R_{ш}$.

По условию, $r_{к} = 6$ см, $R_{ш} = 7,5$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в шар. Сечением будет равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Центр шара $O$ лежит на оси конуса, которая является высотой этого треугольника.

Пусть $H$ — центр основания конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$, где $B$ — точка на окружности основания конуса. Катеты этого треугольника — радиус основания конуса $HB = r_{к}$ и расстояние от центра шара до плоскости основания конуса $OH$. Гипотенуза — радиус шара $OB = R_{ш}$.

По теореме Пифагора: $OB^2 = HB^2 + OH^2$.

$R_{ш}^2 = r_{к}^2 + OH^2$

$7,5^2 = 6^2 + OH^2$

$56,25 = 36 + OH^2$

$OH^2 = 56,25 - 36 = 20,25$

$OH = \sqrt{20,25} = 4,5$ см.

Высота конуса $h$ — это расстояние от вершины конуса $A$ до центра основания $H$. Точки $A$, $O$, $H$ лежат на одной прямой (оси конуса). Возможны два случая расположения центра шара $O$ относительно конуса:

1. Центр шара $O$ находится между вершиной конуса $A$ и его основанием (центром $H$). В этом случае высота конуса $h$ больше радиуса шара $R_{ш}$.

$h = AO + OH = R_{ш} + OH = 7,5 + 4,5 = 12$ см.

2. Основание конуса (центр $H$) находится между вершиной $A$ и центром шара $O$. В этом случае высота конуса $h$ меньше радиуса шара $R_{ш}$.

$h = AO - OH = R_{ш} - OH = 7,5 - 4,5 = 3$ см.

Оба случая являются геометрически возможными. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 12 см или 3 см.