Номер 1, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 3

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $P$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $A (-1; 2; 1)$, $P (2; -1; -2)$. Найдите координаты точки $B$, если:

1) $AP = PB$;

2) $AP : PB = 3 : 5$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от точек $A (4; 1; -2)$ и $B (1; 0; 3)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 8$ см, $AA_1 = 4$ см. Найдите расстояние от точки $B_1$ до центроида тетраэдра $AD_1DC$.

1) AP = PB;

Если $AP = PB$, это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_P = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_P = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_P = \frac{z_A + z_B}{2}$

Чтобы найти координаты точки $B$, выразим их из этих формул:

$x_B = 2x_P - x_A$

$y_B = 2y_P - y_A$

$z_B = 2z_P - z_A$

Подставим известные координаты точек $A(-1; 2; 1)$ и $P(2; -1; -2)$:

$x_B = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$

$y_B = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4$

$z_B = 2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$

Координаты точки $B$ равны $(5; -4; -5)$.

Ответ: $B(5; -4; -5)$.

2) AP : PB = 3 : 5.

Точка $P$ делит отрезок $AB$ в отношении $3:5$. Координаты точки, делящей отрезок в отношении $m:n$, находятся по формулам:

$x_P = \frac{nx_A + mx_B}{m+n}$, $y_P = \frac{ny_A + my_B}{m+n}$, $z_P = \frac{nz_A + mz_B}{m+n}$

Выразим координаты точки $B(x_B; y_B; z_B)$ при $m=3$ и $n=5$:

$x_B = \frac{(m+n)x_P - nx_A}{m}$

$y_B = \frac{(m+n)y_P - ny_A}{m}$

$z_B = \frac{(m+n)z_P - nz_A}{m}$

Подставим известные значения $A(-1; 2; 1)$, $P(2; -1; -2)$:

$x_B = \frac{(3+5) \cdot 2 - 5 \cdot (-1)}{3} = \frac{16 + 5}{3} = \frac{21}{3} = 7$

$y_B = \frac{(3+5) \cdot (-1) - 5 \cdot 2}{3} = \frac{-8 - 10}{3} = \frac{-18}{3} = -6$

$z_B = \frac{(3+5) \cdot (-2) - 5 \cdot 1}{3} = \frac{-16 - 5}{3} = \frac{-21}{3} = -7$

Координаты точки $B$ равны $(7; -6; -7)$.

Ответ: $B(7; -6; -7)$.

2.

Искомая точка $M$ принадлежит оси аппликат (оси $Oz$), поэтому её координаты имеют вид $(0; 0; z)$.

Точка $M$ равноудалена от точек $A(4; 1; -2)$ и $B(1; 0; 3)$, следовательно, расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, то есть $MA = MB$. Это также означает, что квадраты расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим квадраты расстояний $MA^2$ и $MB^2$:

$MA^2 = (4-0)^2 + (1-0)^2 + (-2-z)^2 = 16 + 1 + (z+2)^2 = 17 + z^2 + 4z + 4 = z^2 + 4z + 21$

$MB^2 = (1-0)^2 + (0-0)^2 + (3-z)^2 = 1 + 0 + 9 - 6z + z^2 = z^2 - 6z + 10$

Приравняем полученные выражения:

$z^2 + 4z + 21 = z^2 - 6z + 10$

$4z + 6z = 10 - 21$

$10z = -11$

$z = -1.1$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(0; 0; -1.1)$.

Ответ: $(0; 0; -1.1)$.

3.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Направим ось $Ox$ по ребру $AB$, ось $Oy$ по ребру $AD$, и ось $Oz$ по ребру $AA_1$.

Поскольку основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=8$ см, а высота $AA_1=4$ см, координаты вершин параллелепипеда будут следующими:

$A(0; 0; 0)$, $B(8; 0; 0)$, $D(0; 8; 0)$, $C(8; 8; 0)$, $A_1(0; 0; 4)$, $B_1(8; 0; 4)$, $D_1(0; 8; 4)$.

Найдём координаты центроида $G$ тетраэдра $AD_1DC$. Координаты центроида — это среднее арифметическое координат его вершин. Вершины тетраэдра: $A(0; 0; 0)$, $D_1(0; 8; 4)$, $D(0; 8; 0)$, $C(8; 8; 0)$.

$x_G = \frac{x_A + x_{D_1} + x_D + x_C}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 8}{4} = 2$

$y_G = \frac{y_A + y_{D_1} + y_D + y_C}{4} = \frac{0 + 8 + 8 + 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$z_G = \frac{z_A + z_{D_1} + z_D + z_C}{4} = \frac{0 + 4 + 0 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Координаты центроида $G$ равны $(2; 6; 1)$.

Теперь вычислим расстояние от точки $B_1(8; 0; 4)$ до центроида $G(2; 6; 1)$ по формуле расстояния между точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$B_1G = \sqrt{(2 - 8)^2 + (6 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: 9 см.