Номер 7, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (4; -2; 7)$ и перпендикулярной прямой $CD$, если $C (7; 3; -2)$, $D (4; -5; 1)$.

2. Докажите, что плоскости $x - 5y + 4z - 28 = 0$ и $3x - y - 2z + 100 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 1 см, 2 см и 4 см. Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $AD_1C$.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой $CD$, то направляющий вектор прямой $CD$ является вектором нормали к плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{n} = \vec{CD} = (x_D-x_C; y_D-y_C; z_D-z_C) = (4-7; -5-3; 1-(-2)) = (-3; -8; 3)$

Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости: $A=-3$, $B=-8$, $C=3$.

Плоскость проходит через точку $M(4; -2; 7)$, поэтому $x_0=4$, $y_0=-2$, $z_0=7$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$-3(x-4) - 8(y-(-2)) + 3(z-7) = 0$

$-3(x-4) - 8(y+2) + 3(z-7) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-3x + 12 - 8y - 16 + 3z - 21 = 0$

$-3x - 8y + 3z - 25 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить более стандартный вид:

$3x + 8y - 3z + 25 = 0$

Ответ: $3x + 8y - 3z + 25 = 0$.

2. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторы нормали перпендикулярны. Векторы нормали перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Уравнение первой плоскости: $x - 5y + 4z - 28 = 0$. Ее вектор нормали $\vec{n_1}=(1; -5; 4)$.

Уравнение второй плоскости: $3x - y - 2z + 100 = 0$. Ее вектор нормали $\vec{n_2}=(3; -1; -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 3 + (-5) \cdot (-1) + 4 \cdot (-2) = 3 + 5 - 8 = 0$

Так как скалярное произведение векторов нормали равно нулю, векторы перпендикулярны, а следовательно, и плоскости перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Плоскости перпендикулярны, так как скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю.

3. Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты, исходя из длин рёбер $AB = 1$, $AD = 2$, $AA_1 = 4$:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $D(0, 2, 0)$, $A_1(0, 0, 4)$.

Координаты точек, определяющих плоскость $AD_1C$ и точку $B_1$, будут: $C(1, 2, 0)$ (так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$), $D_1(0, 2, 4)$ и искомая точка $B_1(1, 0, 4)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $C(1,2,0)$ и $D_1(0,2,4)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{AC}=(1-0; 2-0; 0-0)=(1; 2; 0)$ и $\vec{AD_1}=(0-0; 2-0; 4-0)=(0; 2; 4)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AD_1C$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 0) = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n}=(8; -4; 2)$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n'}=(4; -2; 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Так как плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение плоскости: $4x - 2y + z = 0$.

Расстояние $d$ от точки $B_1(x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 4)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим наши значения:

$d = \frac{|4(1) - 2(0) + 1(4)|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 0 + 4|}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{|8|}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

Ответ: $\frac{8}{\sqrt{21}}$ см.