Номер 12, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна $2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 10 см, а одно из оснований — 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, апофема — 4 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1. Основанием пирамиды является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$, а диагональ — $d$. По условию, одна из сторон равна $a = 2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $\alpha = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, можно найти диагональ:$d = \frac{a}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{\cos 30^\circ} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}/2} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{2}$ см.Конус описан около пирамиды, следовательно, его основание — это окружность, описанная около прямоугольника. Радиус такой окружности $R$ равен половине диагонали прямоугольника:$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.Это радиус основания конуса.Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\beta = 45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания. Высота пирамиды $H$ (которая также является высотой конуса) и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и боковым ребром:$H = R \cdot \tan \beta = 2\sqrt{2} \cdot \tan 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$ см.Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $2R$, а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.Подставим найденные значения $R$ и $H$:$S_{сеч} = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Пусть ее основания равны $a$ и $b$, а боковая сторона — $c=10$ см. Одно из оснований, пусть $b$, равно 4 см.В данную пирамиду вписан конус. Это возможно, только если в основание пирамиды (трапецию) можно вписать окружность. Условие для вписанной в равнобокую трапецию окружности: сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть $a+b = 2c$.Подставим известные значения: $a+4 = 2 \cdot 10$, откуда $a = 20-4=16$ см.Итак, основания трапеции равны 16 см и 4 см.Радиус вписанной в трапецию окружности $r$ (который является радиусом основания конуса) равен половине высоты трапеции $h_{трап}$. Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h_{трап}$ и отрезком на большем основании, равным $\frac{a-b}{2}$:$h_{трап} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - \left(\frac{16-4}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ см.Радиус основания конуса: $r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\gamma = 60^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности, а высота пирамиды $H$ (которая является и высотой конуса) связана с радиусом вписанной окружности $r$ соотношением:$H = r \cdot \tan \gamma = 4 \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}$ см.Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и высотой $H$. Его площадь $S_{сеч}$ равна:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$.Подставим найденные значения $r$ и $H$:$S_{сеч} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Это означает, что конус вписан в пирамиду. Основания пирамиды — правильные треугольники, а основания конуса — окружности, вписанные в эти треугольники.Боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды. Образующая конуса, лежащая в плоскости апофемы пирамиды, совпадает с этой апофемой. Таким образом, образующая усечённого конуса $l$ равна апофеме усечённой пирамиды, $l=A=4$ см.Найдём радиусы оснований конуса $r_1$ (большего) и $r_2$ (меньшего). Они равны радиусам окружностей, вписанных в основания-треугольники.Сторона меньшего основания пирамиды $a_2 = 6$ см. Радиус вписанной в него окружности:$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.Двугранный угол при ребре большего основания равен $60^\circ$. Этот угол образуется между апофемой пирамиды $A$ и радиусом $r_1$ вписанной окружности большего основания. Рассмотрим сечение, проходящее через высоту усечённой пирамиды и её апофему. Это прямоугольная трапеция, у которой одна боковая сторона — высота $H$, другая — апофема $A=4$, а основания равны $r_1$ и $r_2$. Угол между апофемой $A$ и основанием $r_1$ равен $60^\circ$.Из этой трапеции находим разность радиусов:$r_1 - r_2 = A \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.Теперь можем найти радиус большего основания:$r_1 = r_2 + 2 = \sqrt{3} + 2$ см.Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$.Подставим найденные значения:$S_{бок} = \pi ((\sqrt{3}+2) + \sqrt{3}) \cdot 4 = \pi (2\sqrt{3} + 2) \cdot 4 = 8\pi(\sqrt{3}+1)$ см².

Ответ: $8\pi(\sqrt{3}+1)$ см².