Номер 6, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (-1; 1; -1)$ и $\vec{b} (-4; 4; 2)$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

Найдите:

1) $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$;

2) $|4\vec{b} - 3\vec{a}|$.

3. Дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Известно, что $AB = BC = AA_1$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите угол между прямыми $C_1A$ и $BC$.

1. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Для векторов $\vec{a}(-1; 1; -1)$ и $\vec{b}(-4; 4; 2)$ найдем сначала их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot (-4) + 1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 4 + 4 - 2 = 6$
Теперь найдем длины (модули) каждого вектора:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$
Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ такие, что $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

1) Найдем $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$.
Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки:
$(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a} = 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a})$
Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{a}$ равно квадрату модуля вектора $\vec{a}$:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 6^2 = 36$
Скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{a}$ находится по формуле:
$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \sqrt{3} \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 3 = 9$
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4 \cdot 9 - 3 \cdot 36 = 36 - 108 = -72$
Ответ: -72.

2) Найдем $|4\vec{b} - 3\vec{a}|$.
Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:
$|4\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = (4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (4\vec{b} - 3\vec{a})$
Раскроем скобки:
$(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (4\vec{b} - 3\vec{a}) = 16(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{a} \cdot \vec{a})$
Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, выражение можно упростить:
$16|\vec{b}|^2 - 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{a}|^2$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $|\vec{a}|^2 = 36$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$. Найдем $|\vec{b}|^2$:
$|\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
Подставим все значения в выражение:
$16 \cdot 3 - 24 \cdot 9 + 9 \cdot 36 = 48 - 216 + 324 = 156$
Таким образом, $|4\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 156$.
Тогда модуль вектора равен корню из этого значения:
$|4\vec{b} - 3\vec{a}| = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$
Ответ: $2\sqrt{39}$.

3. Угол между скрещивающимися прямыми $C_1A$ и $BC$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем этот угол, введя систему координат.
Пусть точка $B$ будет началом координат $B(0, 0, 0)$. Направим ось $Bx$ вдоль луча $BC$, а ось $Bz$ — вдоль ребра $BB_1$.
Пусть $AB = BC = AA_1 = a$.
Определим координаты нужных нам точек:
$B(0, 0, 0)$
$C(a, 0, 0)$ (лежит на оси $Bx$ на расстоянии $a$ от начала координат)
Координаты точки $A$ в плоскости $Oxy$ определяются из того, что $AB=a$ и $\angle ABC=120^\circ$. Таким образом, $A(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = A(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Призма прямая, поэтому $AA_1 \perp ABC$. Координаты точки $C_1$ получаются сдвигом точки $C$ на вектор $\vec{BB_1} = (0, 0, a)$.
$C_1(a, 0, a)$.
Теперь найдем координаты направляющих векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC_1}$ (или $\vec{C_1A}$):
$\vec{BC} = C - B = (a, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a - (-\frac{a}{2}), 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, a - 0) = (\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
Найдем косинус угла $\phi$ между этими векторами:
$\cos(\phi) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{AC_1}|}$
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC_1} = a \cdot \frac{3a}{2} + 0 \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot a = \frac{3a^2}{2}$
Вычислим модули векторов:
$|\vec{BC}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$
$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$
Подставим найденные значения в формулу для косинуса:
$\cos(\phi) = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a \cdot 2a} = \frac{3a^2}{4a^2} = \frac{3}{4}$
Поскольку косинус положителен, полученный угол $\phi$ — острый. Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому искомый угол равен $\arccos(\frac{3}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{3}{4})$.