Номер 9, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

2. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{370}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1.

Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$. По условию, $a = 4$ см. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как цилиндр описан около призмы, его основание — это окружность, описанная около треугольника в основании призмы. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, образует с плоскостью основания угол 45°. Эта диагональ, гипотенуза основания ($c$) и высота призмы ($H$) образуют прямоугольный треугольник. Поскольку один из острых углов этого треугольника равен 45°, он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны, то есть высота призмы $H$ равна гипотенузе основания $c$.

$H = c = 4\sqrt{2}$ см.

Высота цилиндра равна высоте призмы, $H_{цил} = H = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi R H + 2\pi R^2 = 2\pi R (H + R)$.

$S_{полн} = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot (4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 4\pi\sqrt{2} \cdot (6\sqrt{2}) = 24\pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 24\pi \cdot 2 = 48\pi$ см².

Ответ: $48\pi$ см².

2.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра и обеих призм равна $H$.

Рассмотрим вписанную правильную четырехугольную призму. Ее основание — квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности, то есть $2R$. Пусть сторона квадрата равна $a$. По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = (2R)^2$, откуда $2a^2 = 4R^2$, и $a = R\sqrt{2}$. Периметр основания вписанной призмы $P_{впис} = 4a = 4R\sqrt{2}$. Площадь боковой поверхности вписанной призмы:

$S_{бок.впис} = P_{впис} \cdot H = 4\sqrt{2}RH$.

Рассмотрим описанную правильную треугольную призму. Ее основание — правильный треугольник, описанный около окружности радиуса $R$. В этом случае $R$ является радиусом вписанной в треугольник окружности. Пусть сторона треугольника равна $b$. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности связан со стороной формулой $R = \frac{b\sqrt{3}}{6}$, откуда $b = \frac{6R}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}R$. Периметр основания описанной призмы $P_{опис} = 3b = 3 \cdot 2\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R$. Площадь боковой поверхности описанной призмы:

$S_{бок.опис} = P_{опис} \cdot H = 6\sqrt{3}RH$.

Найдем отношение площадей боковых поверхностей вписанной призмы к описанной:

$\frac{S_{бок.впис}}{S_{бок.опис}} = \frac{4\sqrt{2}RH}{6\sqrt{3}RH} = \frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$.

3.

В призму вписан цилиндр, следовательно, в основание призмы (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Это возможно только если суммы длин противоположных сторон равны. Пусть большее основание трапеции $a = 27$ см, боковая сторона $c = 15$ см, а меньшее основание — $b$.

$a + b = c + c \Rightarrow 27 + b = 15 + 15 = 30 \Rightarrow b = 3$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$, которая равна диаметру вписанной окружности (и основания цилиндра). Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Она отсечет прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=15$ и катетом $x = \frac{a-b}{2}$.

$x = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту трапеции:

$h_{трап} = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Диаметр основания цилиндра равен высоте трапеции, $d_{цил} = 9$ см, значит радиус $r = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы $D_{пр}$, диагональ ее основания $d_{осн}$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник: $D_{пр}^2 = d_{осн}^2 + H^2$. Сначала найдем квадрат диагонали основания. Диагональ трапеции, ее высота и часть большего основания ($a-x$) образуют прямоугольный треугольник.

$d_{осн}^2 = h_{трап}^2 + (a-x)^2 = 9^2 + (27-12)^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

Теперь можем найти высоту призмы $H$:

$H^2 = D_{пр}^2 - d_{осн}^2 = (\sqrt{370})^2 - 306 = 370 - 306 = 64$.

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$.

$S_{бок} = 2\pi \cdot 4,5 \cdot 8 = 9\pi \cdot 8 = 72\pi$ см².

Ответ: $72\pi$ см².