Номер 3, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $ \vec{c} (-3; 1; 2) $ и $ \vec{d} (5; -6; 7) $. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{c} + \vec{d} $;

2) координаты вектора $ \vec{c} - \vec{d} $;

3) $ |\vec{c} - \vec{d}| $.

2. Упростите выражение $ \vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD} $.

3. Дан параллелепипед $ ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 $. Выразите вектор $ \vec{A_1C_1} $ через векторы $ \vec{AD} $, $ \vec{AA_1} $ и $ \vec{AB_1} $.

1.

1) координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$;

Чтобы найти координаты суммы двух векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты.
Даны векторы $\vec{c}(-3; 1; 2)$ и $\vec{d}(5; -6; 7)$.
Координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{c} + \vec{d} = (-3 + 5; 1 + (-6); 2 + 7) = (2; -5; 9)$.
Ответ: $(2; -5; 9)$.

2) координаты вектора $\vec{c} - \vec{d}$;

Чтобы найти координаты разности двух векторов, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго вектора.
Координаты вектора $\vec{c} - \vec{d}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{c} - \vec{d} = (-3 - 5; 1 - (-6); 2 - 7) = (-8; 1 + 6; -5) = (-8; 7; -5)$.
Ответ: $(-8; 7; -5)$.

3) $|\vec{c} - \vec{d}|$.

Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y; z)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Из предыдущего пункта известно, что вектор $\vec{c} - \vec{d}$ имеет координаты $(-8; 7; -5)$.
Найдем его модуль:
$|\vec{c} - \vec{d}| = \sqrt{(-8)^2 + 7^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 49 + 25} = \sqrt{138}$.
Ответ: $\sqrt{138}$.

2.

Требуется упростить выражение $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}$.
Для упрощения воспользуемся свойством вычитания векторов ($-\vec{XY} = \vec{YX}$) и правилом сложения векторов (правило многоугольника/цепочки).
Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами:
$\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{EA} + \vec{AD} + \vec{CP} + \vec{DB}$.
Сгруппируем слагаемые для последовательного сложения:
$(\vec{EA} + \vec{AD}) + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$.
Применяем правило сложения:
$\vec{EA} + \vec{AD} = \vec{ED}$.
Выражение принимает вид: $\vec{ED} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$.
Далее: $\vec{ED} + \vec{DB} = \vec{EB}$.
Выражение принимает вид: $\vec{EB} + \vec{BC} + \vec{CP}$.
Далее: $\vec{EB} + \vec{BC} = \vec{EC}$.
И последний шаг: $\vec{EC} + \vec{CP} = \vec{EP}$.
Ответ: $\vec{EP}$.

3.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна и равна грани $ABCD$. Следовательно, вектор диагонали верхней грани $\vec{A_1C_1}$ равен вектору диагонали нижней грани $\vec{AC}$.
$\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю параллелограмма $ABCD$. По правилу сложения векторов (правило параллелограмма), вектор диагонали равен сумме векторов, выходящих из той же вершины и образующих стороны параллелограмма:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Таким образом, вектор $\vec{A_1C_1}$ можно выразить через заданные векторы следующим образом:
$\vec{A_1C_1} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Ответ: $\vec{A_1C_1} = \vec{AD} + \vec{AB}$.