Номер 20, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды
и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 6 см, а острый угол — $60^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом $120^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб со стороной $a=6$ см и острым углом $\alpha=60^\circ$. Площадь ромба равна $S_{осн} = a^2 \sin \alpha = 6^2 \sin 60^\circ = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны $30^\circ$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Для ромба — это точка пересечения диагоналей. Радиус вписанной окружности $r$ связан с высотой ромба $h_{ромба}$ как $r = \frac{1}{2}h_{ромба}$. Высота ромба $h_{ромба} = a \sin \alpha = 6 \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Тогда радиус вписанной окружности $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Угол между радиусом и апофемой — это и есть заданный двугранный угол $30^\circ$. $H = r \cdot \tan 30^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Теперь найдём объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 1.5 = 6\sqrt{3} \cdot 1.5 = 9\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $9\sqrt{3}$ см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.

Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b=8$ см и углом между ними $\beta=120^\circ$. Найдём площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$ см².

Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны ($l=17$ см), вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности (циркумцентр). Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $H^2 + R^2 = l^2$. Отсюда $H = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Найдём радиус описанной окружности $R$. Сначала найдём третью сторону треугольника (основание $c$) по теореме косинусов: $c^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cos 120^\circ = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$. $c = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см. Радиус описанной окружности найдём по следствию из теоремы синусов: $R = \frac{c}{2\sin\beta} = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin 120^\circ} = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$ см.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$: $H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 15 = 16\sqrt{3} \cdot 5 = 80\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $80\sqrt{3}$ см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a=6$ см. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Двугранный угол при боковом ребре равен $120^\circ$. Чтобы использовать это условие, построим линейный угол этого двугранного угла. Проведём из вершины основания $A$ высоту $AK$ к боковому ребру $SB$. Так как пирамида правильная, то высота из вершины $C$ к ребру $SB$ также попадёт в точку $K$. Тогда $\angle AKC = 120^\circ$ — линейный угол двугранного угла при ребре $SB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AKC$. $AK=CK$, основание $AC = a = 6$. Проведём в нём высоту $KM$ к основанию $AC$. $M$ — середина $AC$, $MC=3$. Треугольник $KMC$ — прямоугольный, $\angle MKC = \frac{1}{2}\angle AKC = 60^\circ$. Из $\triangle KMC$ найдём $CK$: $CK = \frac{MC}{\sin 60^\circ} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC=6$. $CK = 2\sqrt{3}$ — его высота, проведённая к боковой стороне $SB$. Обозначим боковое ребро $l=SB$. Площадь треугольника $SBC$ можно выразить двумя способами: $S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot CK = \frac{1}{2} l \cdot (2\sqrt{3}) = l\sqrt{3}$. С другой стороны, если $SN$ — высота к основанию $BC$, то $S_{SBC} = \frac{1}{2} BC \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{l^2 - 3^2} = 3\sqrt{l^2-9}$. Приравняем выражения для площади: $l\sqrt{3} = 3\sqrt{l^2-9}$. Возведём в квадрат: $3l^2 = 9(l^2-9) \Rightarrow 3l^2 = 9l^2 - 81 \Rightarrow 6l^2 = 81 \Rightarrow l^2 = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$.

Высота правильной пирамиды $H$ связана с боковым ребром $l$ и радиусом $R$ описанной окружности основания соотношением $H^2 + R^2 = l^2$. Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Найдём высоту пирамиды $H$: $H^2 = l^2 - R^2 = \frac{27}{2} - (2\sqrt{3})^2 = \frac{27}{2} - 12 = \frac{27-24}{2} = \frac{3}{2}$. $H = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.