Номер 21, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см, $\angle ABC = 90^\circ$. Боковая грань, содержащая один из катетов, перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

3. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 40 см$^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 4 см.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды $DABC$ является прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, в котором катеты $AB = BC = 6$ см. Найдём его площадь:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см².

По условию, боковая грань, содержащая один из катетов (например, грань $DAB$), перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины $D$, лежит в плоскости этой грани. Более того, высотой пирамиды является высота треугольника $DAB$, проведённая к стороне $AB$.

Также по условию, грань $DAB$ является правильным (равносторонним) треугольником. Поскольку она содержит катет $AB$, то все её стороны равны $AB = 6$ см.

Высота правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{тр} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае высота пирамиды $h$ равна высоте треугольника $DAB$:

$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{3}$ см³.

2. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V_{ус} = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

В условии говорится об исходной правильной треугольной пирамиде высотой $H_1 = 10$ см, от которой отсекли меньшую пирамиду, в результате чего получилась усечённая пирамида. Сторона основания исходной пирамиды $a_1 = 6$ см, а сторона верхнего основания усечённой пирамиды (которое является основанием отсечённой пирамиды) $a_2 = 3$ см.

Исходная и отсечённая пирамиды подобны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, сторон оснований:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Если $H_2$ — высота отсечённой пирамиды, то $\frac{H_2}{H_1} = k$, откуда $H_2 = k \cdot H_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ равна разности высот исходной и отсечённой пирамид:

$h = H_1 - H_2 = 10 - 5 = 5$ см.

Основаниями являются правильные треугольники. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь нижнего основания: $S_1 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь верхнего основания: $S_2 = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь вычислим объём усечённой пирамиды:

$V_{ус} = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left(9\sqrt{3} + \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} + \frac{9\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{5}{3} \cdot \left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4}\right)$.

Приводя слагаемые в скобках к общему знаменателю, получаем:

$V_{ус} = \frac{5}{3} \cdot \left(\frac{36\sqrt{3} + 18\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{5}{3} \cdot \frac{63\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \cdot 21\sqrt{3}}{4} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

3. Для пирамиды, у которой все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\alpha$, площадь основания $S_{осн}$ является проекцией боковой поверхности $S_{бок}$, и они связаны соотношением $S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos\alpha$.

Используя данные из условия, $S_{бок} = 40$ см² и $\alpha = 60°$, найдём площадь основания:

$S_{осн} = 40 \cdot \cos(60°) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см².

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 20 + 40 = 60$ см².

Объём любого многогранника, в который можно вписать шар, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}rS_{полн}$, где $r$ — радиус вписанного шара, а $S_{полн}$ — площадь полной поверхности многогранника. Условие равенства углов наклона боковых граней гарантирует возможность вписать шар в данную пирамиду.

Подставим известные значения $r = 4$ см и $S_{полн} = 60$ см² в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 60 = \frac{240}{3} = 80$ см³.

Ответ: 80 см³.