Страница 22 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см, $\angle ABC = 90^\circ$. Боковая грань, содержащая один из катетов, перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

3. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 40 см$^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 4 см.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды $DABC$ является прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, в котором катеты $AB = BC = 6$ см. Найдём его площадь:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см².

По условию, боковая грань, содержащая один из катетов (например, грань $DAB$), перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины $D$, лежит в плоскости этой грани. Более того, высотой пирамиды является высота треугольника $DAB$, проведённая к стороне $AB$.

Также по условию, грань $DAB$ является правильным (равносторонним) треугольником. Поскольку она содержит катет $AB$, то все её стороны равны $AB = 6$ см.

Высота правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{тр} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае высота пирамиды $h$ равна высоте треугольника $DAB$:

$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{3}$ см³.

2. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V_{ус} = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

В условии говорится об исходной правильной треугольной пирамиде высотой $H_1 = 10$ см, от которой отсекли меньшую пирамиду, в результате чего получилась усечённая пирамида. Сторона основания исходной пирамиды $a_1 = 6$ см, а сторона верхнего основания усечённой пирамиды (которое является основанием отсечённой пирамиды) $a_2 = 3$ см.

Исходная и отсечённая пирамиды подобны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, сторон оснований:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Если $H_2$ — высота отсечённой пирамиды, то $\frac{H_2}{H_1} = k$, откуда $H_2 = k \cdot H_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ равна разности высот исходной и отсечённой пирамид:

$h = H_1 - H_2 = 10 - 5 = 5$ см.

Основаниями являются правильные треугольники. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь нижнего основания: $S_1 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь верхнего основания: $S_2 = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь вычислим объём усечённой пирамиды:

$V_{ус} = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left(9\sqrt{3} + \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} + \frac{9\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{5}{3} \cdot \left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4}\right)$.

Приводя слагаемые в скобках к общему знаменателю, получаем:

$V_{ус} = \frac{5}{3} \cdot \left(\frac{36\sqrt{3} + 18\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{5}{3} \cdot \frac{63\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \cdot 21\sqrt{3}}{4} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

3. Для пирамиды, у которой все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\alpha$, площадь основания $S_{осн}$ является проекцией боковой поверхности $S_{бок}$, и они связаны соотношением $S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos\alpha$.

Используя данные из условия, $S_{бок} = 40$ см² и $\alpha = 60°$, найдём площадь основания:

$S_{осн} = 40 \cdot \cos(60°) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см².

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 20 + 40 = 60$ см².

Объём любого многогранника, в который можно вписать шар, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}rS_{полн}$, где $r$ — радиус вписанного шара, а $S_{полн}$ — площадь полной поверхности многогранника. Условие равенства углов наклона боковых граней гарантирует возможность вписать шар в данную пирамиду.

Подставим известные значения $r = 4$ см и $S_{полн} = 60$ см² в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 60 = \frac{240}{3} = 80$ см³.

Ответ: 80 см³.

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой образующей, равен $m$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 4 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 10 см, если радиус его основания равен 5 см. Найдите объём цилиндра,

3. Основание равнобедренного треугольника равно $b$, а угол при вершине равен $2\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $c$ от него (рис. 2). Найдите объём тела вращения.

Рис. 2

1.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $L$ — образующая. Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ — катетами. Угол между образующей и высотой равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем соотношения:
$R = L \sin\alpha$
$H = L \cos\alpha$

Отрезок, соединяющий центр основания конуса (вершину прямого угла в нашем треугольнике) с серединой образующей (серединой гипотенузы), является медианой, проведённой к гипотенузе. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, её длина равна половине гипотенузы. По условию, длина этого отрезка равна $m$.

Следовательно, $m = \frac{L}{2}$, откуда $L = 2m$.

Теперь мы можем выразить $R$ и $H$ через $m$ и $\alpha$:
$R = 2m \sin\alpha$
$H = 2m \cos\alpha$

Подставим эти выражения в формулу для объёма конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi (2m \sin\alpha)^2 (2m \cos\alpha) = \frac{1}{3}\pi (4m^2 \sin^2\alpha)(2m \cos\alpha) = \frac{8}{3}\pi m^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

Ответ: $V = \frac{8}{3}\pi m^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

2.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.

По условию, радиус основания $R = 5$ см. Нам необходимо найти высоту $H$.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $a$ в окружности основания. Расстояние от оси цилиндра до сечения равно расстоянию от центра окружности основания до этой хорды, то есть $d = 4$ см.

Рассмотрим основание цилиндра. В окружности радиусом $R=5$ см проведена хорда $a$ на расстоянии $d=4$ см от центра. Радиус, проведённый к концу хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$
$5^2 = 4^2 + (\frac{a}{2})^2$
$25 = 16 + (\frac{a}{2})^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 9$, откуда $\frac{a}{2} = 3$ см.
Таким образом, длина хорды $a = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольное сечение со сторонами $a=6$ см и $H$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $D = 10$ см. По теореме Пифагора для этого прямоугольника:
$D^2 = a^2 + H^2$
$10^2 = 6^2 + H^2$
$100 = 36 + H^2$
$H^2 = 64$, откуда $H = 8$ см.

Теперь мы можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = \pi \cdot 25 \cdot 8 = 200\pi$ см$^3$.

Ответ: $V = 200\pi$ см$^3$.

3.

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Гюльдена-Паппа: объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры. Формула: $V = 2\pi \bar{r} S$, где $S$ — площадь фигуры, а $\bar{r}$ — расстояние от центроида до оси вращения.

1. Найдём площадь равнобедренного треугольника $ABC$.
Основание $AC = b$, угол при вершине $\angle B = 2\beta$. Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Значит, $HC = \frac{b}{2}$ и $\angle HBC = \beta$.
Из прямоугольного треугольника $BHC$ найдём высоту $BH$:
$\text{ctg}(\angle HBC) = \frac{BH}{HC} \Rightarrow BH = HC \cdot \text{ctg}\beta = \frac{b}{2}\text{ctg}\beta$.
Площадь треугольника $S$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{2}\text{ctg}\beta = \frac{b^2}{4}\text{ctg}\beta$.

2. Найдём положение центроида треугольника.
Центроид треугольника лежит на пересечении медиан. В равнобедренном треугольнике он лежит на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ её длины от основания $AC$.
Расстояние от центроида до основания $AC$ равно $d_c = \frac{1}{3}BH = \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{2}\text{ctg}\beta = \frac{b}{6}\text{ctg}\beta$.

3. Найдём расстояние от центроида до оси вращения $m$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $c$ от него. Так как треугольник и ось вращения находятся по разные стороны от прямой, содержащей основание, то расстояние от центроида до оси вращения $\bar{r}$ равно сумме расстояния от оси до основания ($c$) и расстояния от основания до центроида ($d_c$).
$\bar{r} = c + d_c = c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta$.

4. Вычислим объём тела вращения.
$V = 2\pi \bar{r} S = 2\pi \left(c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta\right) \left(\frac{b^2}{4}\text{ctg}\beta\right) = \frac{\pi b^2 \text{ctg}\beta}{2}\left(c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta\right)$.
$V = \frac{\pi b^2 c \cdot \text{ctg}\beta}{2} + \frac{\pi b^3 \text{ctg}^2\beta}{12}$.

Ответ: $V = \frac{\pi b^2 \text{ctg}\beta}{2}\left(c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta\right)$.