Страница 29 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 4 см и противолежащим ей углом $135^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 1 см. Найдите радиус шара.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — $45^\circ$. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно $2\sqrt{7}$ см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$ в точке $D(-5; -2; 10)$.

1.

Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, они лежат на окружности, которая является сечением шара плоскостью треугольника. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является радиусом описанной около треугольника окружности.

Связь между радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием от центра шара до плоскости сечения $d$ выражается формулой, основанной на теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

По условию, расстояние от центра шара до плоскости треугольника $d = 1$ см.

Найдем радиус описанной окружности $r$ для треугольника, используя следствие из теоремы синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

По условию $a = 4$ см и $\alpha = 135^{\circ}$.

$r = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{4}{2\sin 135^{\circ}} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + d^2 = (2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 8 + 1 = 9$.

$R = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

2.

Так как шар касается всех сторон трапеции, то в эту трапецию можно вписать окружность. Проекция центра шара на плоскость трапеции будет центром этой вписанной окружности.

Радиус шара $R$, радиус вписанной в трапецию окружности $r$ и расстояние от центра шара до плоскости трапеции $d$ связаны соотношением: $R^2 = r^2 + d^2$.

По условию, расстояние от центра шара до плоскости трапеции $d = 2\sqrt{7}$ см.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = \frac{h}{2}$.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции ($c = 8$ см), одним из катетов — высота $h$, а прилежащий к высоте острый угол равен $45^{\circ}$.

Из этого прямоугольного треугольника:

$h = c \cdot \sin 45^{\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Тогда радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь можем найти радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + d^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{7})^2 = (4 \cdot 2) + (4 \cdot 7) = 8 + 28 = 36$.

$R = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $C(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$ находим координаты ее центра $C(-3; 2; 6)$.

Плоскость, касающаяся сферы в точке $D$, перпендикулярна радиусу $CD$, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{CD}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, зная координаты точек $C(-3; 2; 6)$ и $D(-5; -2; 10)$:

$\vec{n} = \vec{CD} = (-5 - (-3); -2 - 2; 10 - 6) = (-2; -4; 4)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $D(x_D, y_D, z_D)$ с вектором нормали $\vec{n}(A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_D) + B(y - y_D) + C(z - z_D) = 0$.

Подставим координаты точки $D(-5; -2; 10)$ и вектора нормали $\vec{n}(-2; -4; 4)$:

$-2(x - (-5)) - 4(y - (-2)) + 4(z - 10) = 0$.

$-2(x + 5) - 4(y + 2) + 4(z - 10) = 0$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$-2x - 10 - 4y - 8 + 4z - 40 = 0$.

$-2x - 4y + 4z - 58 = 0$.

Разделим все члены уравнения на $-2$ для упрощения:

$x + 2y - 2z + 29 = 0$.

Ответ: $x + 2y - 2z + 29 = 0$.

Самостоятельная работа № 15

Многогранники, вписанные в сферу

1. Основанием прямой призмы является треугольник, одна из сторон которого равна 8 см, а противолежащий ей угол равен $150^\circ$. Высота призмы равна 12 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

2. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 9 см и 15 см, а высота $4\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

3. Каждое боковое ребро пирамиды равно $l$ и образует с выcотой пирамиды угол $\beta$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

1.

Радиус шара $R$, описанного около прямой призмы, находится по формуле:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

где $r$ — радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы.

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около треугольного основания. По следствию из теоремы синусов:

$r = \frac{a}{2\sin\alpha}$

где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

По условию $a = 8$ см, $\alpha = 150^\circ$, $H = 12$ см. Подставляем значения:

$r = \frac{8}{2\sin150^\circ} = \frac{8}{2 \cdot (1/2)} = \frac{8}{1} = 8$ см.

Теперь найдем радиус описанного шара $R$:

$R^2 = 8^2 + (\frac{12}{2})^2 = 64 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

2.

Для нахождения радиуса шара, описанного около правильной усеченной пирамиды, рассмотрим ее осевое сечение. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вписанную в окружность, которая является сечением шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара.

Основаниями трапеции являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.

Стороны оснований пирамиды $a_1 = 15$ см и $a_2 = 9$ см.

Диагонали оснований:

$d_1 = a_1\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ см.

$d_2 = a_2\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$ см.

Радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды (половины диагоналей):

$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$ см.

$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

Высота усеченной пирамиды $H = 4\sqrt{2}$ см.

Пусть $R$ — радиус описанного шара. Центр шара лежит на оси пирамиды. Пусть $x$ — расстояние от центра шара до центра большего основания. Тогда расстояние до центра меньшего основания будет $|H-x|$. Радиус шара можно выразить через радиусы оснований и эти расстояния:

$R^2 = r_1^2 + x^2$

$R^2 = r_2^2 + (H-x)^2$

Приравняем правые части уравнений:

$r_1^2 + x^2 = r_2^2 + H^2 - 2Hx + x^2$

$r_1^2 = r_2^2 + H^2 - 2Hx$

$2Hx = r_2^2 - r_1^2 + H^2$

$x = \frac{r_2^2 - r_1^2 + H^2}{2H}$

Подставим числовые значения:

$r_1^2 = (\frac{15\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{225 \cdot 2}{4} = \frac{225}{2} = 112.5$

$r_2^2 = (\frac{9\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{81 \cdot 2}{4} = \frac{81}{2} = 40.5$

$H^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$

$x = \frac{40.5 - 112.5 + 32}{2 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{-40}{8\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}}$

Отрицательный знак означает, что центр шара находится вне усеченной пирамиды, ниже ее большего основания.

Теперь найдем радиус шара $R$:

$R^2 = r_1^2 + x^2 = \frac{225}{2} + (-\frac{5}{\sqrt{2}})^2 = \frac{225}{2} + \frac{25}{2} = \frac{250}{2} = 125$.

$R = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

Ответ: $5\sqrt{5}$ см.

3.

Так как все боковые ребра пирамиды равны $l$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза $l$), высотой пирамиды $H$ и радиусом описанной около основания окружности $r$ (катеты). Угол между боковым ребром и высотой равен $\beta$.

Из этого треугольника находим:

$H = l \cos\beta$

$r = l \sin\beta$

Рассмотрим осевое сечение пирамиды и шара, проходящее через одно из боковых ребер. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник (с боковыми сторонами $l$ и основанием $2r$), вписанный в большую окружность шара. Радиус этой окружности $R$ — искомый радиус шара.

Для радиуса окружности, описанной около треугольника, справедлива формула:

$R = \frac{abc}{4S}$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь. В нашем случае стороны треугольника сечения равны $l, l, 2r$. Его площадь $S = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.

$R = \frac{l \cdot l \cdot 2r}{4rH} = \frac{2l^2r}{4rH} = \frac{l^2}{2H}$

Подставим выражение для высоты $H = l \cos\beta$:

$R = \frac{l^2}{2(l \cos\beta)} = \frac{l}{2\cos\beta}$

Ответ: $\frac{l}{2\cos\beta}$.