Страница 32 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 4 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равносторонним треугольником. Найдите объём пирамиды.

2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

3. Площадь основания пирамиды равна $36 \text{ см}^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 3 см.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания. Основанием является квадрат со стороной $a = 4$ см. Его площадь равна:
$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Найдём высоту пирамиды. По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота этой грани, проведённая к стороне основания, является высотой всей пирамиды.
Эта боковая грань — равносторонний треугольник со стороной, равной стороне основания, то есть 4 см. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, высота пирамиды $H$ равна:
$H = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Теперь можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3}$ см³.

2.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Из условия следует, что высота исходной (полной) пирамиды равна $H_{полн} = 15$ см, а сторона её основания $a_1 = 20$ см. Сторона верхнего основания усечённой пирамиды $a_2 = 8$ см.

1. Найдём площади оснований. Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основания — квадраты.
Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 20^2 = 400$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды $h$. Малая пирамида, отсечённая от исходной, подобна ей. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон оснований:
$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H_{отс}$ — высота отсечённой (малой) пирамиды.
$\frac{H_{отс}}{H_{полн}} = k \implies H_{отс} = H_{полн} \cdot k = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6$ см.
Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высот полной и отсечённой пирамид:
$h = H_{полн} - H_{отс} = 15 - 6 = 9$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (400 + \sqrt{400 \cdot 64} + 64) = 3 \cdot (400 + \sqrt{25600} + 64) = 3 \cdot (400 + 160 + 64) = 3 \cdot 624 = 1872$ см³.

Ответ: 1872 см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$. Площадь основания $S_{осн} = 36$ см² дана, нужно найти высоту $H$.

1. Так как все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha = 45^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$ и радиус этой окружности $r_{осн}$ связаны соотношением: $H = r_{осн} \cdot \tan(\alpha)$.
$H = r_{осн} \cdot \tan(45^\circ) = r_{осн} \cdot 1 = r_{осн}$. Таким образом, высота пирамиды равна радиусу вписанной в основание окружности.

2. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $H$ и апофему (высоту боковой грани). Это прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности основания $r_{осн}$. Угол между апофемой и $r_{осн}$ равен $\alpha = 45^\circ$.
Центр вписанного в пирамиду шара лежит на её высоте. Расстояние от центра шара до плоскости основания и до любой боковой грани равно радиусу вписанного шара $r=3$ см.
В упомянутом осевом сечении биссектриса угла $\alpha$ отсекает на высоте $H$ отрезок, равный $r$. Из геометрии сечения получаем:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{r_{осн}}$.
Найдём $\tan(\frac{45^\circ}{2}) = \tan(22.5^\circ)$. Используем формулу тангенса половинного угла $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$:
$\tan(22.5^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{1+\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1$.

3. Теперь найдём $r_{осн}$:
$r_{осн} = \frac{r}{\tan(22.5^\circ)} = \frac{3}{\sqrt{2}-1} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{2-1} = 3(\sqrt{2}+1)$ см.

4. Так как $H = r_{осн}$, то $H = 3(\sqrt{2}+1)$ см. Вычисляем объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3(\sqrt{2}+1) = 12 \cdot 3(\sqrt{2}+1) = 36(\sqrt{2}+1)$ см³.

Ответ: $36(\sqrt{2}+1)$ см³.

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно $d$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $d$ от него (рис. 3). Найдите объём тела вращения.

Рис. 3

1.
Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в котором высота конуса $H$ является одним из катетов прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Угол между образующей и высотой равен $\alpha$.
Пусть $S$ – вершина конуса, $O$ – центр основания, $A$ – точка на окружности основания. Тогда $SO = H$, $OA = R$, $SA = l$. Треугольник $SOA$ – прямоугольный с $\angle SOA = 90^\circ$.
Угол между образующей $SA$ и высотой $SO$ равен $\angle ASO = \alpha$.
Расстояние от центра основания $O$ до образующей $SA$ – это длина перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на прямую $SA$. По условию, $OK = d$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ ($\angle OK S = 90^\circ$). В нём:
$\sin(\angle KSO) = \frac{OK}{SO} \implies \sin(\alpha) = \frac{d}{H}$.
Отсюда находим высоту конуса $H$:
$H = \frac{d}{\sin(\alpha)}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В нём:
$\tan(\angle ASO) = \frac{OA}{SO} \implies \tan(\alpha) = \frac{R}{H}$.
Отсюда находим радиус основания $R$:
$R = H \tan(\alpha) = \frac{d}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d}{\cos(\alpha)}$.
Теперь можем найти объём конуса, подставив выражения для $H$ и $R$:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{d}{\cos(\alpha)}\right)^2 \left(\frac{d}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{d^2}{\cos^2(\alpha)} \frac{d}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi d^3}{3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}$.
Ответ: $V = \frac{\pi d^3}{3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}$.

2.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.
По условию, образующая цилиндра равна 7 см. Так как образующая цилиндра равна его высоте, то $H = 7$ см.
Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H = 7$ см, а другая – хорде $a$ в основании цилиндра.
Диагональ этого прямоугольника-сечения равна $D = 25$ см. По теореме Пифагора для прямоугольника-сечения:
$D^2 = H^2 + a^2$.
$25^2 = 7^2 + a^2$
$625 = 49 + a^2$
$a^2 = 625 - 49 = 576$
$a = \sqrt{576} = 24$ см.
Таким образом, длина хорды в основании равна 24 см.
Расстояние от оси цилиндра до сечения – это расстояние от центра основания до этой хорды, оно равно $d = 5$ см.
Рассмотрим основание цилиндра. В круге радиусом $R$ проведена хорда $a = 24$ см на расстоянии $d = 5$ см от центра. Радиус $R$, расстояние до хорды $d$ и половина хорды $(a/2)$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ – гипотенуза.
По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + (a/2)^2$
$R^2 = 5^2 + (24/2)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Теперь мы можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 169 \cdot 7 = 1183\pi$ см$^3$.
Ответ: $V = 1183\pi$ см$^3$.

3.
Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры: $V = 2\pi R_c A$, где $A$ – площадь фигуры, а $R_c$ – расстояние от центроида до оси вращения.
Вращаемая фигура – равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом при основании $\alpha$.
1. Найдём площадь треугольника $A$.
Проведём высоту $h$ к основанию. Высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $b$ и острым углом $\alpha$.
Высота треугольника: $h = b \sin(\alpha)$.
Половина основания: $a/2 = b \cos(\alpha)$.
Основание: $a = 2b \cos(\alpha)$.
Площадь треугольника: $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\alpha)) \cdot (b \sin(\alpha)) = b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.
2. Найдём расстояние от центроида до оси вращения $R_c$.
Центроид треугольника находится на его высоте на расстоянии $\frac{1}{3}h$ от основания.
Расстояние от центроида до основания равно $\frac{1}{3}h = \frac{1}{3}b \sin(\alpha)$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию и находится на расстоянии $d$ от него (на противоположной стороне от вершины). Таким образом, расстояние от центроида до оси вращения $m$ равно сумме расстояния от оси до основания ($d$) и расстояния от основания до центроида ($\frac{1}{3}h$).
$R_c = d + \frac{1}{3}h = d + \frac{1}{3}b \sin(\alpha)$.
3. Вычислим объём тела вращения.
$V = 2\pi R_c A = 2\pi \left( d + \frac{1}{3}b \sin(\alpha) \right) (b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))$.
Упростим выражение:
$V = 2\pi b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \left( \frac{3d + b \sin(\alpha)}{3} \right) = \frac{2\pi b^2}{3} (3d + b \sin(\alpha)) \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим:
$V = \frac{\pi b^2}{3} (3d + b \sin(\alpha)) \sin(2\alpha)$.
Ответ: $V = \frac{\pi b^2}{3} (3d + b \sin(\alpha)) \sin(2\alpha)$.