Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 8 см и противолежащим ей углом 30° лежат на поверхности шара, радиус которого равен 17 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 12 см, а острый угол — 30°. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно 4 см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$ в точке А (-5; 1; 5).

1. Плоскость треугольника пересекает шар, образуя в сечении окружность, которая является описанной около этого треугольника. Вершины треугольника лежат на этой окружности.
Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус окружности, описанной около треугольника, и $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Эти величины связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения:
$R^2 = r^2 + d^2$
Из этого соотношения мы можем выразить искомое расстояние:
$d = \sqrt{R^2 - r^2}$
По условию, радиус шара $R = 17$ см.
Радиус описанной окружности треугольника $r$ можно найти, используя следствие из теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin{\alpha}} = 2r $
где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.
По условию $a = 8$ см и $\alpha = 30^\circ$.
Найдем $r$:
$r = \frac{a}{2\sin{\alpha}} = \frac{8}{2\sin{30^\circ}} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{8}{1} = 8$ см.
Теперь можем найти расстояние $d$:
$d = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.
Ответ: 15 см.

2. Если шар касается всех сторон трапеции, то его сечение плоскостью трапеции представляет собой окружность, вписанную в эту трапецию.
Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус вписанной в трапецию окружности, а $d$ — расстояние от центра шара до плоскости трапеции. Эти величины связаны соотношением:
$R^2 = r^2 + d^2$
Отсюда радиус шара $R$ равен:
$R = \sqrt{r^2 + d^2}$
По условию, расстояние $d = 4$ см.
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = h/2$.
Найдем высоту трапеции $h$. В равнобокой трапеции, опустив высоту из вершины тупого угла на большее основание, получим прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является боковая сторона трапеции $c = 12$ см, а одним из катетов — высота $h$. Угол, противолежащий высоте, — это острый угол трапеции $\alpha = 30^\circ$.
Из этого треугольника находим высоту:
$h = c \cdot \sin{\alpha} = 12 \cdot \sin{30^\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Наконец, найдем радиус шара $R$:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

3. Уравнение сферы задано в виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.
Из уравнения $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$ находим координаты центра сферы C и её радиус:
Центр $C(1; -2; 3)$.
Радиус $R = \sqrt{49} = 7$.
Касательная плоскость к сфере в точке A перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{CA}$, соединяющий центр сферы C с точкой касания A, является вектором нормали к искомой плоскости.
Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{CA}$:
$\vec{n} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (-5 - 1; 1 - (-2); 5 - 3) = (-6; 3; 2)$.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_A; y_A; z_A)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_A) + B(y - y_A) + C(z - z_A) = 0$.
Подставим координаты точки $A(-5; 1; 5)$ и вектора нормали $\vec{n} = (-6; 3; 2)$:
$-6(x - (-5)) + 3(y - 1) + 2(z - 5) = 0$
$-6(x + 5) + 3(y - 1) + 2(z - 5) = 0$
$-6x - 30 + 3y - 3 + 2z - 10 = 0$
$-6x + 3y + 2z - 43 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$6x - 3y - 2z + 43 = 0$.
Ответ: $6x - 3y - 2z + 43 = 0$.

Самостоятельная работа № 15

Многогранники, вписанные в сферу

1. Основанием прямой призмы является треугольник, одна из сторон которого равна 12 см, а противолежащий ей угол равен $120^\circ$. Высота призмы равна 8 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

2. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 5 см и 6 см, а боковое ребро $5\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

3. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен $R$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью её основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

1.

Радиус шара $R_s$, описанного около прямой призмы, находится по формуле: $R_s^2 = R_b^2 + (\frac{H}{2})^2$, где $R_b$ – радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ – высота призмы.

Сначала найдем радиус окружности $R_b$, описанной около треугольного основания. По обобщенной теореме синусов, радиус описанной окружности связан со стороной треугольника $a$ и противолежащим ей углом $\gamma$ соотношением: $a = 2 R_b \sin \gamma$. Отсюда $R_b = \frac{a}{2 \sin \gamma}$.

По условию, сторона основания $a = 12$ см, а противолежащий угол $\gamma = 120^\circ$. Подставим значения: $R_b = \frac{12}{2 \sin 120^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Высота призмы по условию $H = 8$ см. Теперь можем найти радиус описанного шара: $R_s^2 = (4\sqrt{3})^2 + (\frac{8}{2})^2 = (16 \cdot 3) + 4^2 = 48 + 16 = 64$. $R_s = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

2.

Около правильной усеченной пирамиды можно описать сферу. Центр этой сферы лежит на высоте усеченной пирамиды. Радиусы окружностей, описанных около оснований (правильных шестиугольников), равны сторонам этих шестиугольников. Радиус окружности, описанной около большего основания: $R_1 = 6$ см. Радиус окружности, описанной около меньшего основания: $R_2 = 5$ см.

Найдем высоту усеченной пирамиды $H$. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через боковое ребро. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l$, высотой $H$ и разностью радиусов $R_1 - R_2$. $H^2 = l^2 - (R_1 - R_2)^2$. Подставим известные значения: $l = 5\sqrt{2}$ см, $R_1 = 6$ см, $R_2 = 5$ см. $H^2 = (5\sqrt{2})^2 - (6 - 5)^2 = 50 - 1^2 = 49$. $H = \sqrt{49} = 7$ см.

Пусть $R_s$ – радиус описанной сферы, а ее центр $O$ лежит на высоте пирамиды на расстоянии $x$ от плоскости большего основания. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости меньшего основания будет равно $H - x$. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно $R_s$. Составим систему уравнений, используя теорему Пифагора для треугольников, образованных радиусом сферы, радиусом основания и расстоянием от центра сферы до плоскости основания: $R_s^2 = R_1^2 + x^2$ $R_s^2 = R_2^2 + (H - x)^2$

Приравняем правые части уравнений: $R_1^2 + x^2 = R_2^2 + (H - x)^2$ $6^2 + x^2 = 5^2 + (7 - x)^2$ $36 + x^2 = 25 + 49 - 14x + x^2$ $36 = 74 - 14x$ $14x = 74 - 36$ $14x = 38$ $x = \frac{38}{14} = \frac{19}{7}$ см.

Теперь найдем радиус сферы $R_s$, подставив значение $x$ в первое уравнение: $R_s^2 = R_1^2 + x^2 = 6^2 + (\frac{19}{7})^2 = 36 + \frac{361}{49} = \frac{36 \cdot 49 + 361}{49} = \frac{1764 + 361}{49} = \frac{2125}{49}$. $R_s = \sqrt{\frac{2125}{49}} = \frac{\sqrt{2125}}{7} = \frac{\sqrt{25 \cdot 85}}{7} = \frac{5\sqrt{85}}{7}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{85}}{7}$ см.

3.

Так как все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Центр описанной сферы лежит на высоте этой пирамиды.

Рассмотрим сечение пирамиды и описанной сферы плоскостью, проходящей через боковое ребро $l$, высоту пирамиды $H$ и радиус описанной около основания окружности $R$. Это сечение содержит равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием-диаметром $2R$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы. Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы $R_s$.

Радиус описанной сферы $R_s$ для такой пирамиды можно найти по формуле $R_s = \frac{l^2}{2H}$, где $l$ - длина бокового ребра, а $H$ - высота пирамиды.

Выразим $l$ и $H$ через $R$ и $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом основания $R$ и боковым ребром $l$, имеем: $\cos \alpha = \frac{R}{l} \implies l = \frac{R}{\cos \alpha}$ $\tan \alpha = \frac{H}{R} \implies H = R \tan \alpha$

Подставим эти выражения в формулу для $R_s$: $R_s = \frac{(\frac{R}{\cos \alpha})^2}{2(R \tan \alpha)} = \frac{\frac{R^2}{\cos^2 \alpha}}{2R \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{R^2}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{2R \sin \alpha} = \frac{R}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$.

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получаем: $R_s = \frac{R}{\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{R}{\sin(2\alpha)}$.