Страница 42 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды
и усечённой пирамиды

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной 12 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой 12 см. Найдите объём пирамиды.

Высота правильной треугольной пирамиды равна 12 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 8 см и 6 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 54 $\text{см}^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол 60$^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 5 см.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота этой грани, опущенная на сторону основания, является высотой всей пирамиды. Эта грань представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является стороной основания и равна 12 см.

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, высота пирамиды $H$ равна:

$H = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь можем найти объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см³.

2.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Основаниями являются равносторонние треугольники со сторонами $a_1 = 8$ см и $a_2 = 6$ см. Найдём их площади:

$S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Усечённая пирамида получена из полной правильной пирамиды высотой $H_{полн} = 12$ см и стороной основания $a_1 = 8$ см. Отсечённая верхняя часть — это меньшая пирамида, подобная полной. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон оснований:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Отношение высот подобных пирамид равно коэффициенту подобия. Пусть $H_{отс}$ — высота отсечённой пирамиды:

$H_{отс} = k \cdot H_{полн} = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высот полной и отсечённой пирамид:

$h = H_{полн} - H_{отс} = 12 - 9 = 3$ см.

Теперь вычислим объём усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (16\sqrt{3} + \sqrt{16\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3}} + 9\sqrt{3}) = 1 \cdot (16\sqrt{3} + \sqrt{144 \cdot 3} + 9\sqrt{3}) = 16\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 37\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $37\sqrt{3}$ см³.

3.

Объём пирамиды, в которую можно вписать шар, можно найти через радиус вписанного шара $r$ и полную площадь поверхности пирамиды $S_{полн}$ по формуле $V = \frac{1}{3}rS_{полн}$.

Полная площадь поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.

Поскольку все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha = 60°$, площадь основания связана с площадью боковой поверхности соотношением:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos\alpha$.

По условию $S_{бок} = 54$ см² и $\alpha = 60°$.

$S_{осн} = 54 \cdot \cos60° = 54 \cdot \frac{1}{2} = 27$ см².

Теперь найдём полную площадь поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 54 + 27 = 81$ см².

Радиус вписанного шара $r = 5$ см. Вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot r \cdot S_{полн} = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 81 = 5 \cdot 27 = 135$ см³.

Ответ: 135 см³.

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Отрезок, соединяющий середину высоты конуса с точкой окружности основания конуса, равен $b$ и образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$, и удалённое от оси цилиндра на 4 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 10 см.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $c$, а угол при основании равен $\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $a$ от него (рис. 4). Найдите объём тела вращения.

Рис. 4

1.

Пусть высота конуса равна $H$, а радиус его основания равен $R$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
Обозначим вершину конуса как $S$, центр основания как $O$, и точку на окружности основания как $A$. Тогда $SO = H$ и $OA = R$. Высота $SO$ перпендикулярна основанию, следовательно, $SO \perp OA$.
Пусть $M$ - середина высоты $SO$, тогда $OM = \frac{H}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике:
- Катет $OA = R$.
- Катет $OM = \frac{H}{2}$.
- Гипотенуза $MA$ - это отрезок, соединяющий середину высоты с точкой на окружности основания. По условию, его длина равна $b$.
- Угол между отрезком $MA$ и высотой конуса (на которой лежит катет $OM$) равен $\alpha$, то есть $\angle AMO = \alpha$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle MOA$ находим:
$R = OA = MA \cdot \sin(\angle AMO) = b \sin(\alpha)$.
$\frac{H}{2} = OM = MA \cdot \cos(\angle AMO) = b \cos(\alpha)$, откуда $H = 2b \cos(\alpha)$.
Теперь подставим найденные выражения для $R$ и $H$ в формулу объема конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (b \sin(\alpha))^2 (2b \cos(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi b^2 \sin^2(\alpha) \cdot 2b \cos(\alpha) = \frac{2}{3}\pi b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{2}{3}\pi b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$.

2.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.
Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон равна высоте цилиндра $H$, а другая - хорде $a$ в окружности основания. Диагональ этого прямоугольника по условию равна 10 см. По теореме Пифагора для этого прямоугольника имеем: $a^2 + H^2 = 10^2 = 100$.
Найдем радиус основания $R$ и длину хорды $a$.
Сечение отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на хорду $a$, также равен $90^\circ$. Таким образом, в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, образованный двумя радиусами (катеты) и хордой $a$ (гипотенуза). По теореме Пифагора для этого треугольника: $a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно 4 см. В круге основания это расстояние является высотой, опущенной из центра на хорду $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$ (гипотенуза), половиной хорды $\frac{a}{2}$ (катет) и расстоянием 4 см (второй катет). По теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{a}{2})^2 + 4^2 = \frac{a^2}{4} + 16$.
Получили систему уравнений:
1) $a^2 = 2R^2$
2) $R^2 = \frac{a^2}{4} + 16$
Подставим выражение для $a^2$ из первого уравнения во второе:
$R^2 = \frac{2R^2}{4} + 16 \implies R^2 = \frac{R^2}{2} + 16 \implies \frac{R^2}{2} = 16 \implies R^2 = 32$ см$^2$.
Теперь найдем $a^2$: $a^2 = 2R^2 = 2 \cdot 32 = 64$ см$^2$, откуда $a=8$ см.
Используя связь между диагональю сечения, хордой и высотой, найдем $H$:
$a^2 + H^2 = 100 \implies 64 + H^2 = 100 \implies H^2 = 36 \implies H = 6$ см.
Теперь можем вычислить объем цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 32 \cdot 6 = 192\pi$ см$^3$.

Ответ: $192\pi \text{ см}^3$.

3.

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена: $V = 2\pi d A$, где $A$ - площадь вращаемой фигуры, а $d$ - расстояние от центроида (центра масс) этой фигуры до оси вращения.
Вращаемая фигура - равнобедренный треугольник с боковой стороной $c$ и углом при основании $\beta$.
1. Найдем площадь треугольника $A$.
Проведем высоту $h$ из вершины к основанию. Она разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Из одного из них находим:
Высота: $h = c \sin(\beta)$.
Половина основания: $b_{1/2} = c \cos(\beta)$.
Основание: $b = 2c \cos(\beta)$.
Площадь треугольника: $A = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (2c \cos(\beta))(c \sin(\beta)) = c^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, получим $A = \frac{1}{2} c^2 \sin(2\beta)$.
2. Найдем расстояние $d$ от центроида треугольника до оси вращения $m$.
Центроид равнобедренного треугольника лежит на его высоте на расстоянии $\frac{1}{3}h$ от основания. Расстояние от центроида до основания: $d_c = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}c \sin(\beta)$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию и, судя по рисунку, находится вне треугольника на расстоянии $a$ от его основания.
Следовательно, расстояние от центроида до оси вращения равно сумме расстояния от оси до основания ($a$) и расстояния от основания до центроида ($d_c$):
$d = a + d_c = a + \frac{1}{3}c \sin(\beta)$.
3. Вычислим объем тела вращения.
$V = 2\pi d A = 2\pi \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right) \left(c^2 \sin(\beta) \cos(\beta)\right)$.
Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла:
$V = \pi \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right) c^2 (2\sin(\beta) \cos(\beta)) = \pi c^2 \sin(2\beta) \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right)$.

Ответ: $V = \pi c^2 \sin(2\beta) \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right)$.