Страница 48 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 5

Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём цилиндра.

2. На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение. Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и поверхности шара, если объём шара равен $ \frac{500}{3} \pi \text{ см}^3 $.

3. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 6 см, которая видна из центра верхнего основания под углом $60^\circ$, а из центра нижнего основания — под углом $120^\circ$. Найдите объём цилиндра.

5. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. Диагональ этого прямоугольника образует с плоскостью основания (то есть с диаметром) угол $\alpha = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, диаметром $d$ и диагональю осевого сечения. В этом треугольнике $h$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$, а $d$ — катет, прилежащий к этому углу. По условию, $h = 8$ см.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{d}$.

Отсюда можем найти диаметр основания: $d = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.

Радиус основания $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим известные значения:

$V = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 8 = \pi (16 \cdot 3) \cdot 8 = \pi \cdot 48 \cdot 8 = 384\pi$ см³.

Ответ: $384\pi$ см³.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. По условию, объём шара равен $\frac{500}{3}\pi$ см³.

Приравняем формулу к заданному значению, чтобы найти радиус шара:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{500}{3}\pi$

$4R^3 = 500$

$R^3 = 125$

$R = 5$ см.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Линия пересечения поверхности шара и плоскости — это окружность, которая является границей этого круга. Нам нужно найти её длину.

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты. По условию, $d = 3$ см.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

Подставим известные значения: $5^2 = 3^2 + r^2 \Rightarrow 25 = 9 + r^2 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4$ см.

Длина линии пересечения — это длина окружности сечения, которая вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

$L = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см.

Ответ: $8\pi$ см.

Тело, полученное при вращении треугольника вокруг одной из его сторон, состоит из двух конусов с общим основанием. Осью вращения является наибольшая сторона треугольника, равная 21 см. Радиусом общего основания этих конусов является высота треугольника, опущенная на эту сторону.

Сначала найдём площадь треугольника со сторонами $a=13$ см, $b=20$ см и $c=21$ см по формуле Герона. Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Площадь треугольника $S$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3^3 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^4 \cdot 7^2 \cdot 2^2} = 3^2 \cdot 7 \cdot 2 = 126$ см².

С другой стороны, площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$, где $h_c$ — высота, проведенная к стороне $c=21$ см. Эта высота и будет радиусом $r$ основания конусов.

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h_c \Rightarrow h_c = \frac{126 \cdot 2}{21} = 12$ см. Итак, $r = 12$ см.

Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов: $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Сумма высот конусов $h_1 + h_2$ равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение, то есть $c = 21$ см.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 21 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 21 = \pi \cdot 144 \cdot 7 = 1008\pi$ см³.

Ответ: $1008\pi$ см³.

Для нахождения объёма цилиндра $V = \pi r^2 h$ необходимо определить его радиус $r$ и высоту $h$.

Рассмотрим нижнее основание. Хорда $AB$ длиной 6 см видна из центра нижнего основания $O_1$ под углом $\angle AO_1B = 120^\circ$. Треугольник $AO_1B$ — равнобедренный ($O_1A = O_1B = r$). Проведем высоту из $O_1$ к $AB$, которая также является медианой и биссектрисой. Она разделит $\triangle AO_1B$ на два прямоугольных треугольника с углом при вершине $O_1$ равным $120^\circ/2 = 60^\circ$ и противолежащим катетом, равным $6/2 = 3$ см.

Из этого прямоугольного треугольника найдем радиус $r$: $\sin(60^\circ) = \frac{3}{r} \Rightarrow r = \frac{3}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AO_2B$, где $O_2$ — центр верхнего основания. Этот треугольник также равнобедренный ($O_2A = O_2B$), и по условию $\angle AO_2B = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним, следовательно, $O_2A = O_2B = AB = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1AO_2$. Его катеты — это радиус основания $O_1A = r = 2\sqrt{3}$ см и высота цилиндра $O_1O_2 = h$. Гипотенуза — это отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой на окружности нижнего основания, $O_2A = 6$ см.

По теореме Пифагора: $(O_1A)^2 + (O_1O_2)^2 = (O_2A)^2$.

$r^2 + h^2 = 6^2$

$(2\sqrt{3})^2 + h^2 = 36 \Rightarrow 12 + h^2 = 36 \Rightarrow h^2 = 24 \Rightarrow h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь можем вычислить объём цилиндра:

$V = \pi r^2 h = \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot (2\sqrt{6}) = \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{6} = 24\pi\sqrt{6}$ см³.

Ответ: $24\pi\sqrt{6}$ см³.

Объём вписанного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Основание конуса вписано в основание пирамиды, а их вершины совпадают, поэтому высота конуса равна высоте пирамиды.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны ($30^\circ$), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в основание пирамиды — равнобокую трапецию — можно вписать окружность.

Условием для вписания окружности в трапецию является равенство сумм противоположных сторон. Пусть основания трапеции $a=18$ см и $b=8$ см, а боковые стороны равны $c$. Тогда $a+b=2c$, откуда $18+8=2c \Rightarrow 26=2c \Rightarrow c=13$ см.

Высота трапеции $h_{трап}$ является диаметром вписанной окружности ($h_{трап} = 2r$). Найдем $h_{трап}$. Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему. Они отсекут от большего основания два равных отрезка длиной $\frac{a-b}{2} = \frac{18-8}{2} = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h_{трап}$ и отрезком 5 см. По теореме Пифагора:

$h_{трап}^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow h_{трап}^2 + 25 = 169 \Rightarrow h_{трап}^2 = 144 \Rightarrow h_{трап} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания конуса) $r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Высоту пирамиды (и конуса) $H$ найдём из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой. Угол между апофемой и основанием и есть данный двугранный угол $30^\circ$.

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{r} \Rightarrow H = r \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим объём конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 2\sqrt{3} = 12\pi \cdot 2\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $24\pi\sqrt{3}$ см³.