Страница 54 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 5

Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём цилиндра.

2. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $144\pi$ см${^2}$. Найдите объём шара.

3. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей сторону длиной 14 см. Найдите объём тела вращения.

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра нижнего основания под углом $90^\circ$, а из центра верхнего основания — под углом $60^\circ$. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 8 см.

5. Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

1.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания $d$, а другая — высоте цилиндра $h$. Радиус основания $r = 6$ см, следовательно, диаметр $d = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.Диагональ осевого сечения, высота и диаметр основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания равен $60^\circ$. В этом треугольнике диаметр является прилежащим катетом к углу $60^\circ$, а высота — противолежащим катетом.Найдем высоту $h$ через тангенс угла:$h = d \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3}$ см.Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.Подставим известные значения:$V = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\sqrt{3} = \pi \cdot 36 \cdot 12\sqrt{3} = 432\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $432\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

2.

Сечение шара плоскостью является кругом. Площадь этого круга $S_{сеч} = 144\pi$ см$^2$.Формула площади круга: $S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$, где $r_{сеч}$ — радиус сечения.$144\pi = \pi r_{сеч}^2$, откуда $r_{сеч}^2 = 144$, следовательно, $r_{сеч} = 12$ см.Радиус шара $R$, радиус сечения $r_{сеч}$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d = 9$ см связаны теоремой Пифагора: $R^2 = d^2 + r_{сеч}^2$.Подставим известные значения:$R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.$R = \sqrt{225} = 15$ см.Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 15^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 = 4\pi \cdot 1125 = 4500\pi$ см$^3$.

Ответ: $4500\pi$ см$^3$.

3.

При вращении треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вокруг стороны длиной 14 см образуется тело вращения, состоящее из двух конусов с общим основанием.Радиус общего основания $r$ этих конусов равен высоте треугольника $h_{14}$, опущенной на сторону 14 см. Сумма высот этих конусов равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение, то есть 14 см.Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона.Полупериметр $p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21$ см.$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см$^2$.С другой стороны, площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$, где $c=14$ см.$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_{14}$, откуда $h_{14} = \frac{84}{7} = 12$ см.Таким образом, радиус основания конусов $r = 12$ см.Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 H_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (H_1 + H_2)$, где $H_1+H_2 = 14$ см.Подставим значения:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 14 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 14 = 48\pi \cdot 14 = 672\pi$ см$^3$.

Ответ: $672\pi$ см$^3$.

4.

Пусть хорда в нижнем основании — $AB$, центр нижнего основания — $O$, центр верхнего основания — $O'$. Радиус основания $R=8$ см.Хорда $AB$ видна из центра нижнего основания $O$ под углом $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный прямоугольный, так как $OA = OB = R = 8$ см.Длину хорды $AB$ найдем по теореме Пифагора:$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.$AB = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ см.Хорда $AB$ видна из центра верхнего основания $O'$ под углом $60^\circ$, то есть $\angle AO'B = 60^\circ$.Рассмотрим треугольник $AO'B$. $O'A$ и $O'B$ — равные наклонные, проведенные из точки $O'$ к окружности нижнего основания. Таким образом, треугольник $AO'B$ — равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, а значит, он равносторонний.Следовательно, $O'A = O'B = AB = 8\sqrt{2}$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO'A$, где $OO'$ — высота цилиндра $h$, $OA$ — радиус основания $R$, а $O'A$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:$O'A^2 = OO'^2 + OA^2$, то есть $(8\sqrt{2})^2 = h^2 + 8^2$.$128 = h^2 + 64$.$h^2 = 128 - 64 = 64$.$h = 8$ см.Объём цилиндра равен $V = \pi R^2 h$.$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 8 = \pi \cdot 64 \cdot 8 = 512\pi$ см$^3$.

Ответ: $512\pi$ см$^3$.

5.

Основание пирамиды — ромб с диагоналями $d_1 = 30$ см и $d_2 = 40$ см.Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в ромб окружности (инцентр).Радиус вписанного конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в ромб. Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$.Найдём сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{30}{2})^2 + (\frac{40}{2})^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.Площадь ромба $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.С другой стороны, площадь ромба связана с радиусом вписанной окружности $r$ формулой $S = 2ar$.$600 = 2 \cdot 25 \cdot r$, откуда $50r = 600$, $r = 12$ см.Радиус основания вписанного конуса $r_{кон} = 12$ см.Высота пирамиды (и конуса) $H$ связана с радиусом вписанной окружности и двугранным углом $\alpha = 60^\circ$ соотношением:$H = r \cdot \tan(\alpha)$.$H = 12 \cdot \tan(60^\circ) = 12\sqrt{3}$ см.Высота конуса $h_{кон} = 12\sqrt{3}$ см.Объём вписанного конуса $V = \frac{1}{3}\pi r_{кон}^2 h_{кон}$.$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 12\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 12\sqrt{3} = \pi \cdot 144 \cdot 4\sqrt{3} = 576\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $576\sqrt{3}\pi$ см$^3$.