Страница 53 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 4

Объёмы многогранников

1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите объём призмы, если её высота равна 5 см.

2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$.

3. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 9 см, а высота — 10 см.

4. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см. Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 2 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $BB_1$ равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

5. Апофема правильной треугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине — $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник. Найдём второй катет по теореме Пифагора. Пусть гипотенуза $c = 13$ см, известный катет $a = 12$ см, а неизвестный катет — $b$.
$a^2 + b^2 = c^2$
$12^2 + b^2 = 13^2$
$144 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 144 = 25$
$b = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдём площадь основания (прямоугольного треугольника):
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².

3. Найдём объём призмы, зная, что её высота $H = 5$ см:
$V = S_{осн} \cdot H = 30 \cdot 5 = 150$ см³.

Ответ: $150 \text{ см}^3$.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Пирамида правильная четырёхугольная, значит, в её основании лежит квадрат. Сторона основания $a = 8$ см. Найдём площадь основания:
$S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64$ см².

2. Найдём высоту пирамиды $H$. Высота правильной пирамиды опускается в центр основания (точку пересечения диагоналей квадрата). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и половиной диагонали основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$.

3. Найдём диагональ основания $d$:
$d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.
Половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. Это катет, прилежащий к углу $60^\circ$.

4. Высота $H$ является противолежащим катетом к углу $60^\circ$. Найдём её через тангенс:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{d/2}$
$H = \frac{d}{2} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см.

5. Найдём объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{256\sqrt{6}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{256\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.

3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ — высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.

1. Пирамида правильная треугольная, значит, в основаниях лежат равносторонние треугольники. Стороны оснований $a_1 = 9$ см и $a_2 = 6$ см. Высота $H = 10$ см.

2. Найдём площадь большего основания ($S_1$) по формуле площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:
$S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

3. Найдём площадь меньшего основания ($S_2$):
$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

4. Найдём объём усечённой пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot 10 \left( \frac{81\sqrt{3}}{4} + 9\sqrt{3} + \sqrt{\frac{81\sqrt{3}}{4} \cdot 9\sqrt{3}} \right)$
$V = \frac{10}{3} \left( \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{36\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{729 \cdot 3}{4}} \right)$
$V = \frac{10}{3} \left( \frac{117\sqrt{3}}{4} + \frac{27\sqrt{3}}{2} \right)$
$V = \frac{10}{3} \left( \frac{117\sqrt{3}}{4} + \frac{54\sqrt{3}}{4} \right)$
$V = \frac{10}{3} \left( \frac{171\sqrt{3}}{4} \right)$
$V = \frac{10 \cdot 57\sqrt{3}}{4} = \frac{570\sqrt{3}}{4} = \frac{285\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{285\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.

4.

Объём наклонного параллелепипеда можно найти по формуле $V = S_{\perp} \cdot l$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

1. По условию, длина бокового ребра $l = AA_1 = BB_1 = 8$ см.

2. Перпендикулярное сечение — это многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковым рёбрам. В данном случае это параллелограмм. Его стороны равны расстояниям между смежными боковыми рёбрами, а угол между сторонами равен двугранному углу при боковом ребре.

3. Стороны перпендикулярного сечения равны 2 см (расстояние между $AA_1$ и $BB_1$) и 3 см (расстояние между $BB_1$ и $CC_1$). Угол между этими сторонами равен двугранному углу при ребре $BB_1$, то есть $45^\circ$.

4. Найдём площадь перпендикулярного сечения (параллелограмма) по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\gamma$ :
$S_{\perp} = 2 \cdot 3 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см².

5. Найдём объём параллелепипеда:
$V = S_{\perp} \cdot l = 3\sqrt{2} \cdot 8 = 24\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $24\sqrt{2} \text{ см}^3$.

5.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

1. Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S$. Апофема $SM = a$, где $M$ — середина стороны основания $BC$. Плоский угол при вершине $\angle BSC = \alpha$.

2. В равнобедренном треугольнике $SBC$ апофема $SM$ является высотой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMB$. Угол $\angle BSM = \frac{\alpha}{2}$. Найдём половину стороны основания $BM$:
$\tan(\angle BSM) = \frac{BM}{SM} \Rightarrow \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{BM}{a} \Rightarrow BM = a \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

3. Сторона основания $BC = 2 \cdot BM = 2a \tan(\frac{\alpha}{2})$.

4. Площадь основания (равностороннего треугольника):
$S_{осн} = \frac{(BC)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2a \tan(\frac{\alpha}{2}))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4a^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2})\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

5. Найдём высоту пирамиды $H=SO$, где $O$ — центр основания. $OM$ — радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника $OM = r = \frac{BC}{2\sqrt{3}} = \frac{2a \tan(\frac{\alpha}{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{a \tan(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3}}$.

6. Из прямоугольного треугольника $SOM$ по теореме Пифагора:
$H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2 = a^2 - \left(\frac{a \tan(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 \left(1 - \frac{\tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3}\right)$.
$H = a \sqrt{1 - \frac{\tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3}}$.

7. Найдём объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \left(a^2\sqrt{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2})\right) \left(a \sqrt{1 - \frac{\tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3}}\right)$
$V = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{\frac{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{3}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2}) \frac{\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}}{\sqrt{3}}$
$V = \frac{a^3}{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2})\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{a^3}{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2})\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$.