Страница 51 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 2

Цилиндр. Конус. Усечённый конус. Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса с многогранниками

1. Прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 10 см, а высота — 24 см. Найдите образующую усечённого конуса.

3. В основании конуса проведена хорда CD на расстоянии $2\sqrt{13}$ см от центра O основания, отрезок SO — высота конуса. Найдите высоту конуса, если точка O удалена от плоскости CDS на 6 см.

4. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\beta$ при вершине. Диагональ боковой грани, содержащая боковую сторону этого треугольника, равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

5. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

1. При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Большая сторона прямоугольника (12 см) будет высотой цилиндра $H$, а меньшая сторона (5 см) — радиусом его основания $R$.
Дано: высота $H = 12$ см, радиус $R = 5$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований и вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2\pi RH + 2\pi R^2 = 2\pi R(H + R)$.
Подставляем числовые значения:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 5 \cdot (12 + 5) = 10\pi \cdot 17 = 170\pi$ см².
Ответ: $170\pi$ см².

2. Для нахождения образующей усечённого конуса $l$ можно рассмотреть его осевое сечение. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Если провести высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему, образуется прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются высота усечённого конуса $H$ и разность радиусов его оснований $(R-r)$, а гипотенузой — образующая $l$.
Дано: радиусы оснований $R = 10$ см и $r = 3$ см, высота $H = 24$ см.
Применяем теорему Пифагора:
$l^2 = H^2 + (R-r)^2$.
Подставляем значения:
$l^2 = 24^2 + (10 - 3)^2 = 576 + 7^2 = 576 + 49 = 625$.
$l = \sqrt{625} = 25$ см.
Ответ: 25 см.

3. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $SO=H$ — высота. Пусть $M$ — середина хорды $CD$. Тогда $OM \perp CD$, и по условию $OM = 2\sqrt{13}$ см. Апофема $SM$ — это высота треугольника $CDS$, проведенная к стороне $CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Его катеты — $SO=H$ и $OM=2\sqrt{13}$. Гипотенуза $SM = \sqrt{H^2 + OM^2} = \sqrt{H^2+52}$.
Плоскость $(SOM)$ перпендикулярна хорде $CD$, а значит, и плоскости $(CDS)$, проходящей через $CD$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $(CDS)$ — это длина перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на плоскость $(CDS)$. Этот перпендикуляр лежит в плоскости $(SOM)$ и опущен на линию пересечения плоскостей, т.е. на прямую $SM$. Таким образом, $OK$ — это высота в прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$, проведенная к гипотенузе $SM$. По условию $OK = 6$ см.
Произведение катетов в прямоугольном треугольнике равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней:
$SO \cdot OM = SM \cdot OK$.
$H \cdot 2\sqrt{13} = \sqrt{H^2+52} \cdot 6$.
$H\sqrt{13} = 3\sqrt{H^2+52}$.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$13H^2 = 9(H^2+52)$.
$13H^2 = 9H^2 + 468$.
$4H^2 = 468$.
$H^2 = 117$.
$H = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.
Ответ: $3\sqrt{13}$ см.

4. Призма является прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани $d$, высотой призмы $H$ и боковой стороной $a$ равнобедренного треугольника в основании. Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол $\alpha$ между $d$ и $a$.
Отсюда: $H = d \sin\alpha$ (высота призмы) и $a = d \cos\alpha$ (боковая сторона основания).
Для нахождения площади боковой поверхности описанного цилиндра нужны его высота $H_{cyl}$ и радиус основания $R_{cyl}$. Высота цилиндра равна высоте призмы: $H_{cyl} = H = d \sin\alpha$. Радиус основания цилиндра — это радиус окружности, описанной около треугольника в основании призмы.
Найдем радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковой стороной $a$ и углом при вершине $\beta$. Углы при основании равны $(180^\circ - \beta)/2 = 90^\circ - \beta/2$. По следствию из теоремы синусов:
$R_{cyl} = \frac{a}{2\sin(90^\circ - \beta/2)} = \frac{a}{2\cos(\beta/2)}$.
Подставим $a = d \cos\alpha$:
$R_{cyl} = \frac{d \cos\alpha}{2\cos(\beta/2)}$.
Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок} = 2\pi R_{cyl} H_{cyl}$.
$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{d \cos\alpha}{2\cos(\beta/2)} \cdot (d \sin\alpha) = \frac{\pi d^2 \sin\alpha \cos\alpha}{\cos(\beta/2)}$.
Ответ: $\frac{\pi d^2 \sin\alpha \cos\alpha}{\cos(\beta/2)}$.

5. Конус вписан в пирамиду, следовательно, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами $a=5$ см и $b=12$ см.
Найдем гипотенузу: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности (он же радиус основания конуса) можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$.
$r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Условие равенства всех двугранных углов при ребрах основания означает, что вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности. Высота боковой грани пирамиды (апофема) является образующей $l$ для вписанного конуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $l$. Угол между апофемой и радиусом (плоскостью основания) — это и есть двугранный угол, равный $30^\circ$.
В этом треугольнике $\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}$.
Отсюда находим образующую конуса $l$:
$l = \frac{r}{\cos(30^\circ)} = \frac{2}{\sqrt{3}/2} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi rl$.
$S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см².
Ответ: $\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см².