Страница 49 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 6

Обобщение и систематизация

знаний учащихся

1. Даны точки $A (-6; 2; 8)$, $B (-2; 5; 9)$, $C (2; 3; -1)$ и $D (3; -3; 13)$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

2. Площадь поверхности шара равна $10 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

3. Через вершину конуса проведена плоскость под углом $\alpha$ к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом $\beta$ и расстояние до которой от центра основания равно $d$. Найдите площадь сечения конуса данной плоскостью.

4. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите:

1) объём призмы;

2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

5. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если радиус описанной около неё сферы равен $R$.

1. Даны точки A(−6; 2; 8), B(−2; 5; 9), C(2; 3; −1) и D(3; −3; 13). Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости BCD.

Для того чтобы доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости BCD, необходимо показать, что вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, векторам $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (-2 - (-6); 5 - 2; 9 - 8) = (4; 3; 1)$

$\vec{BC} = (2 - (-2); 3 - 5; -1 - 9) = (4; -2; -10)$

$\vec{BD} = (3 - (-2); -3 - 5; 13 - 9) = (5; -8; 4)$

2. Проверим, являются ли векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ неколлинеарными. Для этого проверим пропорциональность их координат:

$\frac{4}{5} \ne \frac{-2}{-8}$

Так как координаты не пропорциональны, векторы неколлинеарны.

3. Вычислим скалярные произведения:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + 1 \cdot (-10) = 16 - 6 - 10 = 0$

$\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot (-8) + 1 \cdot 4 = 20 - 24 + 4 = 0$

Поскольку скалярные произведения равны нулю, вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен векторам $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Так как прямая AB перпендикулярна двум неколлинеарным прямым BC и BD в плоскости BCD, то прямая AB перпендикулярна плоскости BCD.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2. Площадь поверхности шара равна 10 см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.

По условию, $S_{шара} = 4\pi R^2 = 10 \text{ см}^2$.

У цилиндра, описанного около шара, радиус основания $r$ равен радиусу шара $R$, а высота $h$ равна диаметру шара, то есть $h = 2R$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$ равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

$S_{цил} = 2\pi rh + 2\pi r^2$

Подставим $r=R$ и $h=2R$:

$S_{цил} = 2\pi R(2R) + 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$.

Мы знаем, что $4\pi R^2 = 10$, следовательно, мы можем выразить $S_{цил}$ через $S_{шара}$:

$S_{цил} = 6\pi R^2 = \frac{3}{2} (4\pi R^2) = \frac{3}{2} S_{шара}$.

$S_{цил} = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: $15 \text{ см}^2$.

3. Через вершину конуса проведена плоскость под углом $\alpha$ к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом $\beta$ и расстояние до которой от центра основания равно $d$. Найдите площадь сечения конуса данной плоскостью.

Пусть S — вершина конуса, O — центр основания, SO — высота конуса. Секущая плоскость проходит через вершину S и пересекает основание по хорде AB. Сечением является треугольник ASB.

1. Рассмотрим основание конуса. Хорда AB видна из центра O под углом $\angle AOB = \beta$. Расстояние от центра O до хорды AB — это длина перпендикуляра OM, где M — середина AB. По условию, $OM = d$.

В равнобедренном треугольнике AOB, OM является высотой и биссектрисой. Следовательно, $\angle AOM = \frac{\beta}{2}$. В прямоугольном треугольнике OMA:

$AM = OM \cdot \tan(\angle AOM) = d \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2d \tan(\frac{\beta}{2})$.

2. Высотой сечения (треугольника ASB) является отрезок SM. Площадь сечения $S_{сеч} = \frac{1}{2} AB \cdot SM$.

3. Угол между плоскостью сечения (ASB) и плоскостью основания — это угол между перпендикулярами к их линии пересечения AB. В плоскости основания это OM, в плоскости сечения — SM. Таким образом, $\angle SMO = \alpha$.

4. Рассмотрим треугольник SOM. Так как SO — высота конуса, то $SO \perp$ плоскости основания, а значит $SO \perp OM$. Следовательно, треугольник SOM — прямоугольный с прямым углом O.

В прямоугольном треугольнике SOM:

$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{d}{SM}$, откуда $SM = \frac{d}{\cos(\alpha)}$.

5. Найдем площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot (2d \tan(\frac{\beta}{2})) \cdot (\frac{d}{\cos(\alpha)}) = \frac{d^2 \tan(\frac{\beta}{2})}{\cos(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\frac{\beta}{2})}{\cos(\alpha)}$.

4. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите:

Пусть основанием призмы $ABCA'B'C'$ является равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и углами при основании $\angle B = \angle C = \alpha$. Призма прямая, поэтому ее высота $H = CC'$.

Боковая грань, содержащая основание BC, — это прямоугольник $BCC'B'$. Его диагональ $BC' = d$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между диагональю $BC'$ и ее проекцией $BC$ на основание, то есть $\angle C'BC = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $C'BC$:

Высота призмы $H = CC' = BC' \sin(\beta) = d \sin(\beta)$.

Основание треугольника $BC = BC' \cos(\beta) = d \cos(\beta)$.

1) объём призмы;

Объём призмы $V = S_{осн} \cdot H$. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Проведем в треугольнике ABC высоту AM к основанию BC. В прямоугольном треугольнике AMC: $MC = \frac{BC}{2} = \frac{d \cos(\beta)}{2}$.

$AM = MC \cdot \tan(\angle C) = \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(\alpha)$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} BC \cdot AM = \frac{1}{2} (d \cos(\beta)) \cdot (\frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(\alpha)) = \frac{d^2 \cos^2(\beta) \tan(\alpha)}{4}$.

Теперь найдем объём:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{d^2 \cos^2(\beta) \tan(\alpha)}{4} \cdot d \sin(\beta) = \frac{d^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta) \tan(\alpha)}{4}$.

Ответ: $\frac{d^3}{4} \cos^2(\beta) \sin(\beta) \tan(\alpha)$.

2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

Высота описанного цилиндра равна высоте призмы: $H_{цил} = H = d \sin(\beta)$.

Радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

Угол при вершине A треугольника ABC равен $\angle A = 180^\circ - 2\alpha$.

По теореме синусов для треугольника ABC: $\frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R_{цил}$.

$R_{цил} = \frac{BC}{2\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{d \cos(\beta)}{2\sin(2\alpha)}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил} = 2\pi R_{цил} H_{цил}$.

$S_{бок.цил} = 2\pi \cdot \frac{d \cos(\beta)}{2\sin(2\alpha)} \cdot d \sin(\beta) = \frac{\pi d^2 \cos(\beta) \sin(\beta)}{\sin(2\alpha)}$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, получаем:

$S_{бок.цил} = \frac{\pi d^2 \frac{1}{2}\sin(2\beta)}{\sin(2\alpha)} = \frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2\sin(2\alpha)}$.

5. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если радиус описанной около неё сферы равен R.

Так как все боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения диагоналей O. Таким образом, SO — высота пирамиды $H$.

Пусть $D$ — диагональ прямоугольника в основании. Угол наклона бокового ребра (например, SA) к основанию — это $\angle SAO = \beta$.

Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды SO. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через диагональ основания AC и вершину S. Это сечение — окружность, описанная около равнобедренного треугольника ASC, и ее радиус равен R.

В треугольнике ASC применим теорему синусов: $\frac{AC}{\sin(\angle ASC)} = 2R$.

$AC = D$. В прямоугольном треугольнике SOA ($SO \perp AO$) угол $\angle ASO = 90^\circ - \beta$. Тогда $\angle ASC = 2\angle ASO = 2(90^\circ - \beta) = 180^\circ - 2\beta$.

$\sin(\angle ASC) = \sin(180^\circ - 2\beta) = \sin(2\beta)$.

Подставляем в теорему синусов: $\frac{D}{\sin(2\beta)} = 2R$, откуда диагональ основания $D = 2R \sin(2\beta)$.

Найдем объём пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

1. Площадь основания $S_{осн}$. Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$. По условию, одна из сторон, например $a$, образует с диагональю $D$ угол $\alpha$. Тогда $a = D \cos(\alpha)$ и $b = D \sin(\alpha)$.

$S_{осн} = ab = (D \cos(\alpha))(D \sin(\alpha)) = D^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}D^2 \sin(2\alpha)$.

Подставим выражение для $D$:

$S_{осн} = \frac{1}{2}(2R \sin(2\beta))^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin^2(2\beta) \sin(2\alpha) = 2R^2 \sin^2(2\beta) \sin(2\alpha)$.

2. Высота пирамиды $H$. В прямоугольном треугольнике SOA:

$H = SO = AO \tan(\beta) = \frac{D}{2} \tan(\beta)$.

Подставим выражение для $D$:

$H = \frac{2R \sin(2\beta)}{2} \tan(\beta) = R \sin(2\beta) \tan(\beta)$.

3. Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (2R^2 \sin^2(2\beta) \sin(2\alpha)) \cdot (R \sin(2\beta) \tan(\beta))$.

$V = \frac{2}{3} R^3 \sin^3(2\beta) \sin(2\alpha) \tan(\beta)$.

Это выражение можно упростить, используя $\sin(2\beta)=2\sin(\beta)\cos(\beta)$ и $\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$:

$V = \frac{2}{3} R^3 (2\sin(\beta)\cos(\beta))^3 \sin(2\alpha) \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{2}{3} R^3 \cdot 8\sin^3(\beta)\cos^3(\beta) \sin(2\alpha) \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{16}{3} R^3 \sin^4(\beta)\cos^2(\beta) \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\frac{16}{3} R^3 \sin^4(\beta)\cos^2(\beta) \sin(2\alpha)$.