Страница 43 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Два шара, радиусы которых равны 3 см и 8 см, имеют общий центр. Найдите объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров.

2. Плоскость, находящаяся на расстоянии 6 см от центра шара, пересекает его поверхность по линии, длина которой равна $16\pi$ см. Найдите:

1) площадь поверхности шара;

2) площадь сферической части поверхности большего из образовавшихся шаровых сегментов.

3. Расстояние между центрами двух шаров равно 42 см, а их радиусы равны 20 см и 34 см. Найдите объём общей части данных шаров.

1. Объём тела, содержащегося между поверхностями двух шаров с общим центром, равен разности объёмов большего и меньшего шаров.
Пусть $R$ — радиус большего шара, а $r$ — радиус меньшего шара. По условию, $R = 8$ см и $r = 3$ см.
Формула объёма шара: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Искомый объём $V$ равен разности объёмов большего и меньшего шаров:
$V = V_{\text{большего}} - V_{\text{меньшего}} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$.
Подставим значения радиусов:
$V = \frac{4}{3}\pi (8^3 - 3^3) = \frac{4}{3}\pi (512 - 27) = \frac{4}{3}\pi \cdot 485 = \frac{1940}{3}\pi$ см$^3$.
Ответ: $\frac{1940}{3}\pi$ см$^3$.

2. Пусть $R$ — радиус шара, $d$ — расстояние от центра шара до плоскости, $r$ — радиус сечения (окружности).
По условию, $d = 6$ см. Длина линии пересечения (окружности) равна $L = 16\pi$ см.
Найдём радиус сечения $r$ из формулы длины окружности $L = 2\pi r$:
$16\pi = 2\pi r \implies r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$ см.
Радиус шара $R$, расстояние до плоскости $d$ и радиус сечения $r$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.
$R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Следовательно, радиус шара $R = \sqrt{100} = 10$ см.

1) площадь поверхности шара;
Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.
$S = 4\pi \cdot 10^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi$ см$^2$.
Ответ: $400\pi$ см$^2$.

2) площадь сферической части поверхности большего из образовавшихся шаровых сегментов.
Плоскость делит шар на два шаровых сегмента. Высота меньшего сегмента $h_1 = R - d = 10 - 6 = 4$ см.
Высота большего сегмента $h_2 = R + d = 10 + 6 = 16$ см. (Так как $h_1+h_2 = 2R$)
Площадь сферической части поверхности сегмента (сферического сегмента) вычисляется по формуле $S_{\text{сег}} = 2\pi R h$.
Найдём площадь для большего сегмента с высотой $h_2 = 16$ см:
$S_{\text{большего}} = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 10 \cdot 16 = 320\pi$ см$^2$.
Ответ: $320\pi$ см$^2$.

3. Пусть $R_1 = 20$ см и $R_2 = 34$ см — радиусы двух шаров, а $d = 42$ см — расстояние между их центрами.
Общая часть двух шаров состоит из двух шаровых сегментов, примыкающих друг к другу по общему основанию (кругу).
Пусть $x$ — расстояние от центра первого шара до плоскости их общего основания, тогда $(d-x)$ — расстояние от центра второго шара до этой плоскости. Радиус $r$ общего основания для обоих сегментов одинаков.
Из прямоугольных треугольников, образованных радиусами шаров, расстояниями от центров до плоскости сечения и радиусом сечения, по теореме Пифагора имеем:
$r^2 = R_1^2 - x^2$
$r^2 = R_2^2 - (d-x)^2$
Приравняем правые части уравнений:
$R_1^2 - x^2 = R_2^2 - (d-x)^2$
$20^2 - x^2 = 34^2 - (42-x)^2$
$400 - x^2 = 1156 - (1764 - 84x + x^2)$
$400 - x^2 = 1156 - 1764 + 84x - x^2$
$400 = -608 + 84x$
$84x = 1008$
$x = \frac{1008}{84} = 12$ см.
Теперь найдём объём общей части, который равен сумме объёмов двух шаровых сегментов.
Формула объёма шарового сегмента: $V_{\text{сег}} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $h$ — высота сегмента.
Для первого шара: высота сегмента $h_1 = R_1 - x = 20 - 12 = 8$ см.
Объём первого сегмента: $V_1 = \pi \cdot 8^2 (20 - \frac{8}{3}) = 64\pi (\frac{60 - 8}{3}) = 64\pi \cdot \frac{52}{3} = \frac{3328\pi}{3}$ см$^3$.
Для второго шара: расстояние от центра до основания сегмента равно $d-x = 42 - 12 = 30$ см.
Высота второго сегмента $h_2 = R_2 - (d-x) = 34 - 30 = 4$ см.
Объём второго сегмента: $V_2 = \pi \cdot 4^2 (34 - \frac{4}{3}) = 16\pi (\frac{102 - 4}{3}) = 16\pi \cdot \frac{98}{3} = \frac{1568\pi}{3}$ см$^3$.
Общий объём $V = V_1 + V_2$:
$V = \frac{3328\pi}{3} + \frac{1568\pi}{3} = \frac{4896\pi}{3} = 1632\pi$ см$^3$.
Ответ: $1632\pi$ см$^3$.