Страница 36 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (1; 4; -2)$ и перпендикулярной прямой $BC$, если $B (4; -2; 1)$, $C (5; -3; 6)$.

2. Докажите, что плоскости $2x + 4y + 11z - 2 = 0$ и $5x + 3y - 2z + 13 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 1 см, 3 см и 1 см. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AB_1C$.

1.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию, плоскость проходит через точку $M(1; 4; -2)$, значит $x_0=1$, $y_0=4$, $z_0=-2$.

Плоскость перпендикулярна прямой $BC$. Это означает, что направляющий вектор прямой $BC$ является нормальным вектором $\vec{n}$ для искомой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, используя координаты точек $B(4; -2; 1)$ и $C(5; -3; 6)$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (5 - 4; -3 - (-2); 6 - 1) = (1; -1; 5)$.

Итак, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (1; -1; 5)$. Следовательно, $A=1$, $B=-1$, $C=5$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:
$1 \cdot (x - 1) + (-1) \cdot (y - 4) + 5 \cdot (z - (-2)) = 0$
$x - 1 - y + 4 + 5z + 10 = 0$
$x - y + 5z + 13 = 0$

Ответ: $x - y + 5z + 13 = 0$.

2.

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$ перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Для первой плоскости $2x + 4y + 11z - 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2; 4; 11)$.

Для второй плоскости $5x + 3y - 2z + 13 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (5; 3; -2)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 11 \cdot (-2) = 10 + 12 - 22 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты, учитывая длины рёбер $|AB|=1$, $|AD|=3$, $|AA_1|=1$:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 0; 0)$
$C(1; 3; 0)$
$B_1(1; 0; 1)$
$D_1(0; 3; 1)$

Найдем уравнение плоскости $AB_1C$, проходящей через три точки $A(0; 0; 0)$, $B_1(1; 0; 1)$ и $C(1; 3; 0)$.
Составим векторы, лежащие в этой плоскости:$\vec{AB_1} = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$
$\vec{AC} = (1-0; 3-0; 0-0) = (1; 3; 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 3) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) = -3\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$.
Таким образом, $\vec{n} = (-3; 1; 3)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0; 0; 0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = (-3; 1; 3)$, имеет вид:
$-3(x-0) + 1(y-0) + 3(z-0) = 0$
$-3x + y + 3z = 0$

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $D_1(0; 3; 1)$ до плоскости $-3x + y + 3z = 0$ по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Здесь $(x_0; y_0; z_0) = (0; 3; 1)$, а коэффициенты уравнения плоскости $A=-3, B=1, C=3, D=0$.
$d = \frac{|-3 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1|}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{|0 + 3 + 3|}{\sqrt{9 + 1 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{19}} = \frac{6}{\sqrt{19}}$.

Ответ: $\frac{6}{\sqrt{19}}$ см.

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна $16$ см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против образующей, равен $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна $16$ см, а угол между диагоналями — $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $10 \text{ см}^2$ и $16 \text{ см}^2$. Угол между плоскостями сечений равен $60^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ (равная образующей) и диаметр его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $d = 16$ см.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, каждая диагональ делится на два отрезка по $16/2 = 8$ см.

Угол между диагоналями, лежащий против образующей (стороны $H$), равен $120^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной $H$. Две его стороны равны 8 см, а угол между ними — $120^\circ$. По теореме косинусов найдем высоту $H$:

$H^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

$H^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$

$H = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Смежный угол между диагоналями равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Этот угол лежит напротив другой стороны прямоугольника — диаметра $D$. Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 8 см, 8 см и $D$. Так как угол при вершине этого треугольника равен $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $D$ также равна 8 см.

Радиус основания цилиндра $R = D/2 = 8/2 = 4$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$:

$S_{бок} = 2 \pi \cdot 4 \cdot 8\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \pi$ см².

Ответ: $64\sqrt{3} \pi$ см².

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник $ABCD$. Одна его сторона равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi R$.

Дана диагональ прямоугольника $d = 16$ см и угол между диагоналями $60^\circ$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, образуя отрезки по $16/2 = 8$ см. Рассмотрим треугольник, образованный одной из сторон прямоугольника и двумя половинами диагоналей. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 8 см и углом при вершине $60^\circ$. Следовательно, он равносторонний, и одна из сторон прямоугольника равна 8 см.

Смежный угол между диагоналями равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Вторую сторону прямоугольника, назовем ее $b$, найдем по теореме косинусов из другого треугольника, образованного половинами диагоналей:

$b^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$

$b = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ см.

Стороны прямоугольника равны 8 см и $8\sqrt{3}$ см. По условию, меньшая сторона является высотой цилиндра. Так как $8 < 8\sqrt{3}$, то высота $H = 8$ см. Следовательно, длина окружности основания $C = 8\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус основания $R$ из формулы $C = 2 \pi R$:

$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{8\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{3}}{\pi}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = C \cdot H + 2\pi R^2$

$S_{бок} = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}$ см².

$S_{осн} = \pi \left(\frac{4\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{16 \cdot 3}{\pi^2} = \frac{48}{\pi}$ см².

$S_{полн} = 64\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{48}{\pi} = 64\sqrt{3} + \frac{96}{\pi}$ см².

Ответ: $64\sqrt{3} + \frac{96}{\pi}$ см².

Сечения цилиндра, проходящие через одну образующую, являются прямоугольниками. Одна сторона у них общая — высота цилиндра $H$. Вторые стороны, $a$ и $b$, являются хордами в основании цилиндра.

Площади данных сечений равны $S_1 = H \cdot a = 10$ см² и $S_2 = H \cdot b = 16$ см².

Угол между плоскостями сечений равен углу между хордами $a$ и $b$ в плоскости основания и по условию составляет $60^\circ$.

Искомое сечение проходит через две другие образующие данных сечений. Это также прямоугольник, одна сторона которого равна $H$, а другая — хорда $c$, соединяющая концы хорд $a$ и $b$. Площадь этого сечения $S_x = H \cdot c$.

В плоскости основания хорды $a$, $b$ и $c$ образуют треугольник, для которого по теореме косинусов справедливо равенство:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ)$

Домножим обе части этого равенства на $H^2$:

$(Hc)^2 = (Ha)^2 + (Hb)^2 - 2(Ha)(Hb)\cos(60^\circ)$

Заменяя произведения на соответствующие площади, получаем:

$S_x^2 = S_1^2 + S_2^2 - 2S_1S_2\cos(60^\circ)$

Подставляем известные значения $S_1=10$, $S_2=16$ и $\cos(60^\circ) = 1/2$:

$S_x^2 = 10^2 + 16^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}$

$S_x^2 = 100 + 256 - 160 = 196$

$S_x = \sqrt{196} = 14$ см².

Ответ: 14 см².