Номер 7, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (1; 4; -2)$ и перпендикулярной прямой $BC$, если $B (4; -2; 1)$, $C (5; -3; 6)$.

2. Докажите, что плоскости $2x + 4y + 11z - 2 = 0$ и $5x + 3y - 2z + 13 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 1 см, 3 см и 1 см. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AB_1C$.

1.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию, плоскость проходит через точку $M(1; 4; -2)$, значит $x_0=1$, $y_0=4$, $z_0=-2$.

Плоскость перпендикулярна прямой $BC$. Это означает, что направляющий вектор прямой $BC$ является нормальным вектором $\vec{n}$ для искомой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, используя координаты точек $B(4; -2; 1)$ и $C(5; -3; 6)$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (5 - 4; -3 - (-2); 6 - 1) = (1; -1; 5)$.

Итак, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (1; -1; 5)$. Следовательно, $A=1$, $B=-1$, $C=5$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:
$1 \cdot (x - 1) + (-1) \cdot (y - 4) + 5 \cdot (z - (-2)) = 0$
$x - 1 - y + 4 + 5z + 10 = 0$
$x - y + 5z + 13 = 0$

Ответ: $x - y + 5z + 13 = 0$.

2.

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$ перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Для первой плоскости $2x + 4y + 11z - 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2; 4; 11)$.

Для второй плоскости $5x + 3y - 2z + 13 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (5; 3; -2)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 11 \cdot (-2) = 10 + 12 - 22 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты, учитывая длины рёбер $|AB|=1$, $|AD|=3$, $|AA_1|=1$:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 0; 0)$
$C(1; 3; 0)$
$B_1(1; 0; 1)$
$D_1(0; 3; 1)$

Найдем уравнение плоскости $AB_1C$, проходящей через три точки $A(0; 0; 0)$, $B_1(1; 0; 1)$ и $C(1; 3; 0)$.
Составим векторы, лежащие в этой плоскости:$\vec{AB_1} = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$
$\vec{AC} = (1-0; 3-0; 0-0) = (1; 3; 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 3) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) = -3\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$.
Таким образом, $\vec{n} = (-3; 1; 3)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0; 0; 0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = (-3; 1; 3)$, имеет вид:
$-3(x-0) + 1(y-0) + 3(z-0) = 0$
$-3x + y + 3z = 0$

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $D_1(0; 3; 1)$ до плоскости $-3x + y + 3z = 0$ по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Здесь $(x_0; y_0; z_0) = (0; 3; 1)$, а коэффициенты уравнения плоскости $A=-3, B=1, C=3, D=0$.
$d = \frac{|-3 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1|}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{|0 + 3 + 3|}{\sqrt{9 + 1 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{19}} = \frac{6}{\sqrt{19}}$.

Ответ: $\frac{6}{\sqrt{19}}$ см.