Номер 14, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 8 см и противолежащим ей углом 30° лежат на поверхности шара, радиус которого равен 17 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 12 см, а острый угол — 30°. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно 4 см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$ в точке А (-5; 1; 5).

1. Плоскость треугольника пересекает шар, образуя в сечении окружность, которая является описанной около этого треугольника. Вершины треугольника лежат на этой окружности.
Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус окружности, описанной около треугольника, и $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Эти величины связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения:
$R^2 = r^2 + d^2$
Из этого соотношения мы можем выразить искомое расстояние:
$d = \sqrt{R^2 - r^2}$
По условию, радиус шара $R = 17$ см.
Радиус описанной окружности треугольника $r$ можно найти, используя следствие из теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin{\alpha}} = 2r $
где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.
По условию $a = 8$ см и $\alpha = 30^\circ$.
Найдем $r$:
$r = \frac{a}{2\sin{\alpha}} = \frac{8}{2\sin{30^\circ}} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{8}{1} = 8$ см.
Теперь можем найти расстояние $d$:
$d = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.
Ответ: 15 см.

2. Если шар касается всех сторон трапеции, то его сечение плоскостью трапеции представляет собой окружность, вписанную в эту трапецию.
Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус вписанной в трапецию окружности, а $d$ — расстояние от центра шара до плоскости трапеции. Эти величины связаны соотношением:
$R^2 = r^2 + d^2$
Отсюда радиус шара $R$ равен:
$R = \sqrt{r^2 + d^2}$
По условию, расстояние $d = 4$ см.
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = h/2$.
Найдем высоту трапеции $h$. В равнобокой трапеции, опустив высоту из вершины тупого угла на большее основание, получим прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является боковая сторона трапеции $c = 12$ см, а одним из катетов — высота $h$. Угол, противолежащий высоте, — это острый угол трапеции $\alpha = 30^\circ$.
Из этого треугольника находим высоту:
$h = c \cdot \sin{\alpha} = 12 \cdot \sin{30^\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Наконец, найдем радиус шара $R$:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

3. Уравнение сферы задано в виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.
Из уравнения $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$ находим координаты центра сферы C и её радиус:
Центр $C(1; -2; 3)$.
Радиус $R = \sqrt{49} = 7$.
Касательная плоскость к сфере в точке A перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{CA}$, соединяющий центр сферы C с точкой касания A, является вектором нормали к искомой плоскости.
Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{CA}$:
$\vec{n} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (-5 - 1; 1 - (-2); 5 - 3) = (-6; 3; 2)$.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_A; y_A; z_A)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_A) + B(y - y_A) + C(z - z_A) = 0$.
Подставим координаты точки $A(-5; 1; 5)$ и вектора нормали $\vec{n} = (-6; 3; 2)$:
$-6(x - (-5)) + 3(y - 1) + 2(z - 5) = 0$
$-6(x + 5) + 3(y - 1) + 2(z - 5) = 0$
$-6x - 30 + 3y - 3 + 2z - 10 = 0$
$-6x + 3y + 2z - 43 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$6x - 3y - 2z + 43 = 0$.
Ответ: $6x - 3y - 2z + 43 = 0$.