Номер 18, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $49\pi$ см$^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Высота конуса равна 36 см, а радиус вписанного в него шара — 10 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 25 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1. Шар можно вписать в цилиндр, если высота цилиндра $H$ равна его диаметру $2R$. В этом случае радиус вписанного шара $r$ равен радиусу основания цилиндра $R$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$.

Подставим в формулу соотношение для цилиндра, описанного около шара: $H = 2R$.

$S_{бок} = 2\pi R(2R) = 4\pi R^2$.

По условию, $S_{бок} = 49\pi$ см². Приравняем и решим уравнение:

$4\pi R^2 = 49\pi$

$4R^2 = 49$

$R^2 = \frac{49}{4}$

$R = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3,5$ см.

Радиус вписанного шара $r$ равен радиусу основания цилиндра $R$. Следовательно, $r = 3,5$ см.

Ответ: $3,5$ см.

2. Рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписан шар. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота треугольника — это высота конуса $H = 36$ см, а радиус вписанной окружности — это радиус вписанного шара $r = 10$ см. Обозначим радиус основания конуса как $R$, а образующую — как $L$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$, по теореме Пифагора выполняется соотношение: $L^2 = H^2 + R^2$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Центр вписанной в конус сферы лежит на высоте конуса и является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой конуса. Из подобия этих треугольников следует соотношение: $\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$.

Подставим известные значения: $H=36$ см, $r=10$ см.

$\frac{10}{R} = \frac{36-10}{L} \Rightarrow \frac{10}{R} = \frac{26}{L} \Rightarrow L = 2,6R$.

Теперь подставим это выражение в теорему Пифагора $L^2 = H^2 + R^2$:

$(2,6R)^2 = 36^2 + R^2$

$6,76R^2 = 1296 + R^2$

$5,76R^2 = 1296$

$R^2 = \frac{1296}{5,76} = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Найдем образующую $L$:

$L = 2,6R = 2,6 \cdot 15 = 39$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi RL$.

$S_{бок} = \pi \cdot 15 \cdot 39 = 585\pi$ см².

Ответ: $585\pi$ см².

3. В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда его образующая $L$ равна сумме радиусов оснований $R_1$ и $R_2$. Это следует из свойства описанного четырехугольника (осевым сечением является равнобокая трапеция, описанная около окружности).

По условию, радиусы оснований $R_1 = 25$ см и $R_2 = 4$ см.

Найдем образующую $L$:

$L = R_1 + R_2 = 25 + 4 = 29$ см.

Высота усеченного конуса $H$ равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2r$, где $r$ - радиус шара.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса $H$, образующей $L$ и разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения:

$29^2 = H^2 + (25 - 4)^2$

$841 = H^2 + 21^2$

$841 = H^2 + 441$

$H^2 = 841 - 441 = 400$

$H = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара $r$:

$H = 2r \Rightarrow r = \frac{H}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: радиус шара $10$ см, образующая усеченного конуса $29$ см.