Номер 1, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 1

Контрольная работа № 1

Координаты и векторы в пространстве

1. Точки A и B симметричны относительно точки C. Найдите координаты точки B, если A $(-2; -4; 1)$, C $(1; 3; 2)$.

2. Даны точки A $(2; 4; -1)$, B $(-1; 1; 3)$ и C $(5; 1; -3)$. Найдите:

1) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC;

2) координаты точки D такой, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

3. Даны векторы $\vec{a} (-2; 8; -4)$ и $\vec{b} (1; -4; k)$. При каком значении $k$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой AB, если A $(-3; 1; 2)$, B $(2; 4; -3)$.

5. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $30^\circ$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Найдите скалярное произведение $(\vec{a} - 2\vec{b})(2\vec{a} + \vec{b})$.

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $1$ см. На отрезке $B_1D_1$ отметили точку $E$ так, что $B_1E : ED_1 = 3 : 2$.

1) Выразите вектор $\vec{CE}$ через векторы $\vec{CD}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CC_1}$.

2) Найдите угол между прямыми $CE$ и $DB_1$.

1.

Если точки A и B симметричны относительно точки C, то точка C является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка $C(x_C, y_C, z_C)$ для точек $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$ находятся по формулам: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$.

Чтобы найти координаты точки B, выразим их из этих формул:
$x_B = 2x_C - x_A$
$y_B = 2y_C - y_A$
$z_B = 2z_C - z_A$

Подставим известные координаты точек A(-2; -4; 1) и C(1; 3; 2):
$x_B = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$
$y_B = 2 \cdot 3 - (-4) = 6 + 4 = 10$
$z_B = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Таким образом, координаты точки B (4; 10; 3).

Ответ: B(4; 10; 3).

2.

1) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC;

Координаты точки M, являющейся точкой пересечения медиан треугольника ABC с вершинами $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$, находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
$z_M = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$

Подставим координаты точек A(2; 4; -1), B(-1; 1; 3) и C(5; 1; -3):
$x_M = \frac{2 + (-1) + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y_M = \frac{4 + 1 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$z_M = \frac{-1 + 3 + (-3)}{3} = \frac{-1}{3}$

Координаты точки пересечения медиан: M(2; 2; -1/3).

Ответ: (2; 2; -1/3).

2) координаты точки D такой, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме ABCD векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны. Пусть координаты точки D равны $(x, y, z)$.
Координаты вектора $\vec{AD}$ равны $(x - x_A, y - y_A, z - z_A)$, то есть $(x - 2, y - 4, z - (-1)) = (x - 2, y - 4, z + 1)$.
Координаты вектора $\vec{BC}$ равны $(x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B)$, то есть $(5 - (-1), 1 - 1, -3 - 3) = (6, 0, -6)$.

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем систему уравнений:
$x - 2 = 6 \implies x = 8$
$y - 4 = 0 \implies y = 4$
$z + 1 = -6 \implies z = -7$

Координаты точки D: (8; 4; -7).

Ответ: D(8; 4; -7).

3.

1) коллинеарны;

Векторы $\vec{a}(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}(b_x, b_y, b_z)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$.

Подставим координаты векторов $\vec{a}(-2; 8; -4)$ и $\vec{b}(1; -4; k)$:
$\frac{-2}{1} = \frac{8}{-4} = \frac{-4}{k}$

Проверим первые два отношения: $\frac{-2}{1} = -2$ и $\frac{8}{-4} = -2$. Они равны, значит, векторы могут быть коллинеарны.

Теперь найдем $k$ из пропорции: $\frac{-4}{k} = -2$.
$-4 = -2k \implies k = \frac{-4}{-2} = 2$.

Ответ: $k = 2$.

2) перпендикулярны?

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Скалярное произведение в координатах: $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$.

Подставим координаты векторов:
$(-2) \cdot 1 + 8 \cdot (-4) + (-4) \cdot k = 0$
$-2 - 32 - 4k = 0$
$-34 - 4k = 0$
$4k = -34$
$k = -\frac{34}{4} = -\frac{17}{2} = -8.5$

Ответ: $k = -8.5$.

4.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и перпендикулярной вектору нормали $\vec{N}(A, B, C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Плоскость проходит через точку A(-3; 1; 2), значит $(x_0, y_0, z_0) = (-3, 1, 2)$.
Плоскость перпендикулярна прямой AB, следовательно, вектор $\vec{AB}$ является вектором нормали $\vec{N}$ к плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ c началом в A(-3; 1; 2) и концом в B(2; 4; -3):
$\vec{N} = \vec{AB} = (2 - (-3), 4 - 1, -3 - 2) = (5, 3, -5)$.

Подставим координаты точки А и вектора нормали $\vec{N}$ в уравнение плоскости:
$5(x - (-3)) + 3(y - 1) + (-5)(z - 2) = 0$
$5(x + 3) + 3(y - 1) - 5(z - 2) = 0$
$5x + 15 + 3y - 3 - 5z + 10 = 0$
$5x + 3y - 5z + 22 = 0$

Ответ: $5x + 3y - 5z + 22 = 0$.

5.

Требуется найти скалярное произведение $(\vec{a} - 2\vec{b})(2\vec{a} + \vec{b})$. Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} - (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) - (2\vec{b}) \cdot \vec{b}$
$= 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} - 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Используем тождества $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$:
$= 2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между ними.
По условию, $\theta = 30^\circ$, $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все значения в полученное выражение:
$2(1)^2 - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2(1)^2 = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

6.

1) Выразите вектор $\vec{CE}$ через векторы $\vec{CD}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CC_1}$.

Вектор $\vec{CE}$ можно представить как сумму векторов, исходящих из вершины C. Точка E лежит на отрезке $B_1D_1$ и делит его в отношении $B_1E : ED_1 = 3 : 2$. По правилу деления отрезка в данном отношении, радиус-вектор точки E из точки C равен:
$\vec{CE} = \frac{2\vec{CB_1} + 3\vec{CD_1}}{2+3} = \frac{2}{5}\vec{CB_1} + \frac{3}{5}\vec{CD_1}$.

Теперь выразим векторы $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$ через базисные векторы, используя правило параллелограмма (или треугольника):
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1} = \vec{CB} + \vec{CC_1}$
$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} = \vec{CD} + \vec{CC_1}$

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{CE}$:
$\vec{CE} = \frac{2}{5}(\vec{CB} + \vec{CC_1}) + \frac{3}{5}(\vec{CD} + \vec{CC_1})$
$\vec{CE} = \frac{2}{5}\vec{CB} + \frac{2}{5}\vec{CC_1} + \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{3}{5}\vec{CC_1}$
$\vec{CE} = \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{2}{5}\vec{CB} + \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5}\right)\vec{CC_1}$
$\vec{CE} = \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{2}{5}\vec{CB} + \vec{CC_1}$

Ответ: $\vec{CE} = \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{2}{5}\vec{CB} + \vec{CC_1}$.

2) Найдите угол между прямыми CE и $DB_1$.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. В качестве направляющих векторов возьмем $\vec{CE}$ и $\vec{DB_1}$. Угол $\theta$ найдем по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{CE} \cdot \vec{DB_1}|}{|\vec{CE}| |\vec{DB_1}|}$.

Для вычислений введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0, 0, 0). Направим оси Ox, Oy, Oz вдоль ребер DA, DC, $DD_1$ соответственно. Так как ребро куба равно 1, координаты вершин будут:
D(0, 0, 0), C(0, 1, 0), $B_1$(1, 1, 1), $D_1$(0, 0, 1).

Найдем координаты точки E, которая делит отрезок $B_1D_1$ в отношении $B_1E : ED_1 = 3 : 2$:
$E = \left(\frac{2x_{B_1} + 3x_{D_1}}{5}, \frac{2y_{B_1} + 3y_{D_1}}{5}, \frac{2z_{B_1} + 3z_{D_1}}{5}\right)$
$E = \left(\frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 0}{5}, \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 0}{5}, \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 1}{5}\right) = \left(\frac{2}{5}, \frac{2}{5}, 1\right)$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{CE}$ и $\vec{DB_1}$:
$\vec{CE} = (\frac{2}{5} - 0, \frac{2}{5} - 1, 1 - 0) = (\frac{2}{5}, -\frac{3}{5}, 1)$
$\vec{DB_1} = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1)$

Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{CE} \cdot \vec{DB_1} = \frac{2}{5} \cdot 1 + (-\frac{3}{5}) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = \frac{2}{5} - \frac{3}{5} + 1 = \frac{4}{5}$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{CE}| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{3}{5})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{9}{25} + 1} = \sqrt{\frac{13+25}{25}} = \sqrt{\frac{38}{25}} = \frac{\sqrt{38}}{5}$
$|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла:
$\cos\theta = \frac{|\frac{4}{5}|}{\frac{\sqrt{38}}{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{114}}{5}} = \frac{4}{\sqrt{114}}$.

Угол $\theta = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{114}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{114}}\right)$.