Номер 22, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Отрезок, соединяющий середину высоты конуса с точкой окружности основания конуса, равен $b$ и образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$, и удалённое от оси цилиндра на 4 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 10 см.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $c$, а угол при основании равен $\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $a$ от него (рис. 4). Найдите объём тела вращения.

Рис. 4

1.

Пусть высота конуса равна $H$, а радиус его основания равен $R$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
Обозначим вершину конуса как $S$, центр основания как $O$, и точку на окружности основания как $A$. Тогда $SO = H$ и $OA = R$. Высота $SO$ перпендикулярна основанию, следовательно, $SO \perp OA$.
Пусть $M$ - середина высоты $SO$, тогда $OM = \frac{H}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике:
- Катет $OA = R$.
- Катет $OM = \frac{H}{2}$.
- Гипотенуза $MA$ - это отрезок, соединяющий середину высоты с точкой на окружности основания. По условию, его длина равна $b$.
- Угол между отрезком $MA$ и высотой конуса (на которой лежит катет $OM$) равен $\alpha$, то есть $\angle AMO = \alpha$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle MOA$ находим:
$R = OA = MA \cdot \sin(\angle AMO) = b \sin(\alpha)$.
$\frac{H}{2} = OM = MA \cdot \cos(\angle AMO) = b \cos(\alpha)$, откуда $H = 2b \cos(\alpha)$.
Теперь подставим найденные выражения для $R$ и $H$ в формулу объема конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (b \sin(\alpha))^2 (2b \cos(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi b^2 \sin^2(\alpha) \cdot 2b \cos(\alpha) = \frac{2}{3}\pi b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{2}{3}\pi b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$.

2.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.
Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон равна высоте цилиндра $H$, а другая - хорде $a$ в окружности основания. Диагональ этого прямоугольника по условию равна 10 см. По теореме Пифагора для этого прямоугольника имеем: $a^2 + H^2 = 10^2 = 100$.
Найдем радиус основания $R$ и длину хорды $a$.
Сечение отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на хорду $a$, также равен $90^\circ$. Таким образом, в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, образованный двумя радиусами (катеты) и хордой $a$ (гипотенуза). По теореме Пифагора для этого треугольника: $a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно 4 см. В круге основания это расстояние является высотой, опущенной из центра на хорду $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$ (гипотенуза), половиной хорды $\frac{a}{2}$ (катет) и расстоянием 4 см (второй катет). По теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{a}{2})^2 + 4^2 = \frac{a^2}{4} + 16$.
Получили систему уравнений:
1) $a^2 = 2R^2$
2) $R^2 = \frac{a^2}{4} + 16$
Подставим выражение для $a^2$ из первого уравнения во второе:
$R^2 = \frac{2R^2}{4} + 16 \implies R^2 = \frac{R^2}{2} + 16 \implies \frac{R^2}{2} = 16 \implies R^2 = 32$ см$^2$.
Теперь найдем $a^2$: $a^2 = 2R^2 = 2 \cdot 32 = 64$ см$^2$, откуда $a=8$ см.
Используя связь между диагональю сечения, хордой и высотой, найдем $H$:
$a^2 + H^2 = 100 \implies 64 + H^2 = 100 \implies H^2 = 36 \implies H = 6$ см.
Теперь можем вычислить объем цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 32 \cdot 6 = 192\pi$ см$^3$.

Ответ: $192\pi \text{ см}^3$.

3.

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена: $V = 2\pi d A$, где $A$ - площадь вращаемой фигуры, а $d$ - расстояние от центроида (центра масс) этой фигуры до оси вращения.
Вращаемая фигура - равнобедренный треугольник с боковой стороной $c$ и углом при основании $\beta$.
1. Найдем площадь треугольника $A$.
Проведем высоту $h$ из вершины к основанию. Она разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Из одного из них находим:
Высота: $h = c \sin(\beta)$.
Половина основания: $b_{1/2} = c \cos(\beta)$.
Основание: $b = 2c \cos(\beta)$.
Площадь треугольника: $A = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (2c \cos(\beta))(c \sin(\beta)) = c^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, получим $A = \frac{1}{2} c^2 \sin(2\beta)$.
2. Найдем расстояние $d$ от центроида треугольника до оси вращения $m$.
Центроид равнобедренного треугольника лежит на его высоте на расстоянии $\frac{1}{3}h$ от основания. Расстояние от центроида до основания: $d_c = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}c \sin(\beta)$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию и, судя по рисунку, находится вне треугольника на расстоянии $a$ от его основания.
Следовательно, расстояние от центроида до оси вращения равно сумме расстояния от оси до основания ($a$) и расстояния от основания до центроида ($d_c$):
$d = a + d_c = a + \frac{1}{3}c \sin(\beta)$.
3. Вычислим объем тела вращения.
$V = 2\pi d A = 2\pi \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right) \left(c^2 \sin(\beta) \cos(\beta)\right)$.
Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла:
$V = \pi \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right) c^2 (2\sin(\beta) \cos(\beta)) = \pi c^2 \sin(2\beta) \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right)$.

Ответ: $V = \pi c^2 \sin(2\beta) \left(a + \frac{c \sin(\beta)}{3}\right)$.