Номер 21, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды
и усечённой пирамиды

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной 12 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой 12 см. Найдите объём пирамиды.

Высота правильной треугольной пирамиды равна 12 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 8 см и 6 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 54 $\text{см}^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол 60$^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 5 см.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота этой грани, опущенная на сторону основания, является высотой всей пирамиды. Эта грань представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является стороной основания и равна 12 см.

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, высота пирамиды $H$ равна:

$H = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь можем найти объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см³.

2.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Основаниями являются равносторонние треугольники со сторонами $a_1 = 8$ см и $a_2 = 6$ см. Найдём их площади:

$S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Усечённая пирамида получена из полной правильной пирамиды высотой $H_{полн} = 12$ см и стороной основания $a_1 = 8$ см. Отсечённая верхняя часть — это меньшая пирамида, подобная полной. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон оснований:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Отношение высот подобных пирамид равно коэффициенту подобия. Пусть $H_{отс}$ — высота отсечённой пирамиды:

$H_{отс} = k \cdot H_{полн} = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высот полной и отсечённой пирамид:

$h = H_{полн} - H_{отс} = 12 - 9 = 3$ см.

Теперь вычислим объём усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (16\sqrt{3} + \sqrt{16\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3}} + 9\sqrt{3}) = 1 \cdot (16\sqrt{3} + \sqrt{144 \cdot 3} + 9\sqrt{3}) = 16\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 37\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $37\sqrt{3}$ см³.

3.

Объём пирамиды, в которую можно вписать шар, можно найти через радиус вписанного шара $r$ и полную площадь поверхности пирамиды $S_{полн}$ по формуле $V = \frac{1}{3}rS_{полн}$.

Полная площадь поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.

Поскольку все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha = 60°$, площадь основания связана с площадью боковой поверхности соотношением:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos\alpha$.

По условию $S_{бок} = 54$ см² и $\alpha = 60°$.

$S_{осн} = 54 \cdot \cos60° = 54 \cdot \frac{1}{2} = 27$ см².

Теперь найдём полную площадь поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 54 + 27 = 81$ см².

Радиус вписанного шара $r = 5$ см. Вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot r \cdot S_{полн} = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 81 = 5 \cdot 27 = 135$ см³.

Ответ: 135 см³.