Номер 19, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 10 см, а боковое ребро — 12 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\beta$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 8 см. Две противоположащие боковые грани параллелепипеда — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

1.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $ V = S_{осн} \cdot h $, где $ S_{осн} $ — площадь основания, а $ h $ — высота (боковое ребро).

По условию, одна из сторон основания равна $ a = 10 $ см, а боковое ребро $ h = 12 $ см. Нам нужно найти вторую сторону основания, обозначим её $ b $.

Диагональ параллелепипеда $ D $ образует с плоскостью основания угол $ 45^\circ $. Этот угол является углом между самой диагональю $ D $ и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали параллелепипеда на основание является диагональ основания $ d $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $ D $ (гипотенуза), боковым ребром $ h $ (катет) и диагональю основания $ d $ (второй катет). Угол между $ D $ и $ d $ равен $ 45^\circ $.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d} $Поскольку $ \tan(45^\circ) = 1 $, то $ h = d $.Так как $ h = 12 $ см, то и диагональ основания $ d = 12 $ см.

Основанием является прямоугольник со сторонами $ a = 10 $ см и $ b $. Его диагональ $ d $ связана со сторонами по теореме Пифагора:$ d^2 = a^2 + b^2 $Подставим известные значения:$ 12^2 = 10^2 + b^2 $$ 144 = 100 + b^2 $$ b^2 = 144 - 100 = 44 $$ b = \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11} $ см.

Теперь можем найти площадь основания:$ S_{осн} = a \cdot b = 10 \cdot 2\sqrt{11} = 20\sqrt{11} $ см².

Наконец, вычислим объём параллелепипеда:$ V = S_{осн} \cdot h = 20\sqrt{11} \cdot 12 = 240\sqrt{11} $ см³.

Ответ: $ 240\sqrt{11} $ см³.

2.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $ V = S_{осн} \cdot h $, где $ S_{осн} $ — площадь основания, а $ h $ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.Основанием является равнобедренный треугольник $ ABC $ с $ AB = BC $, $ AC = b $ и $ \angle BAC = \alpha $.Проведём высоту $ BH $ к основанию $ AC $. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, $ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2} $.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ ABH $. Из него найдём высоту $ BH $:$ \tan(\angle BAC) = \frac{BH}{AH} \Rightarrow \tan(\alpha) = \frac{BH}{b/2} $$ BH = \frac{b}{2}\tan(\alpha) $Теперь найдём площадь основания (треугольника $ ABC $):$ S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(\frac{b}{2}\tan(\alpha)\right) = \frac{b^2}{4}\tan(\alpha) $

2. Найдём высоту призмы.Призма прямая, поэтому её высота $ h $ равна длине бокового ребра, например, $ BB_1 $.Угол между плоскостью $ AB_1C $ и плоскостью основания $ ABC $ равен $ \beta $. Этот угол является двугранным углом, ребром которого является линия пересечения плоскостей — прямая $ AC $.Для нахождения линейного угла этого двугранного угла мы уже провели перпендикуляр $ BH $ к ребру $ AC $ в плоскости основания. Соединим точки $ B_1 $ и $ H $.Так как призма прямая, $ BB_1 \perp (ABC) $, а значит $ BB_1 \perp BH $. Треугольник $ B_1BH $ — прямоугольный.По теореме о трёх перпендикулярах, так как $ BH $ (проекция наклонной $ B_1H $ на плоскость основания) перпендикулярна $ AC $, то и сама наклонная $ B_1H $ перпендикулярна $ AC $.Следовательно, угол $ \angle B_1HB $ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ AB_1C $ и $ ABC $, то есть $ \angle B_1HB = \beta $.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ B_1BH $. Катет $ BB_1 = h $, катет $ BH = \frac{b}{2}\tan(\alpha) $, и угол $ \angle B_1HB = \beta $.Из соотношений в этом треугольнике:$ \tan(\beta) = \frac{BB_1}{BH} = \frac{h}{BH} $$ h = BH \cdot \tan(\beta) = \left(\frac{b}{2}\tan(\alpha)\right) \cdot \tan(\beta) = \frac{b}{2}\tan(\alpha)\tan(\beta) $

3. Вычислим объём призмы.$ V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{b^2}{4}\tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\tan(\alpha)\tan(\beta)\right) = \frac{b^3}{8}\tan^2(\alpha)\tan(\beta) $

Ответ: $ \frac{b^3}{8}\tan^2(\alpha)\tan(\beta) $.

3.

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $ V = S_{осн} \cdot H $, где $ S_{осн} $ — площадь основания, а $ H $ — высота параллелепипеда.

1. Найдём площадь основания.Основанием является квадрат со стороной $ a = 8 $ см.$ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 $ см².

2. Найдём высоту параллелепипеда $ H $.Пусть основание параллелепипеда — квадрат $ ABCD $.По условию, две противолежащие боковые грани — квадраты. Так как сторона основания равна 8 см, то и боковое ребро равно 8 см. Пусть грань $ ABB_1A_1 $ — квадрат. Это означает, что боковое ребро $ AA_1 $ перпендикулярно ребру основания $ AB $, то есть $ \angle A_1AB = 90^\circ $.

Другая пара противолежащих боковых граней ($ ADD_1A_1 $ и $ BCC_1B_1 $) — ромбы с острым углом $ 30^\circ $. Рассмотрим грань $ ADD_1A_1 $. Её стороны $ AD $ и $ AA_1 $ равны 8 см, а острый угол $ \angle A_1AD = 30^\circ $.

Высота параллелепипеда $ H $ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего. Опустим высоту из вершины $ A_1 $ на плоскость основания $ (ABCD) $.

Проведём в грани-ромбе $ ADD_1A_1 $ высоту $ A_1M $ к стороне $ AD $. Длина этой высоты равна:$ A_1M = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AD) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.По построению, $ A_1M \perp AD $.

Теперь докажем, что $ A_1M $ является высотой всего параллелепипеда. Для этого нужно показать, что $ A_1M $ перпендикулярен плоскости основания $ (ABCD) $. Мы уже знаем, что $ A_1M \perp AD $. Нам нужно доказать, что $ A_1M $ перпендикулярен ещё одной прямой в этой плоскости, пересекающей $ AD $, например, прямой $ AB $.

Так как основание $ ABCD $ — квадрат, то $ AB \perp AD $.Так как боковая грань $ ABB_1A_1 $ — квадрат, то $ AB \perp AA_1 $.Поскольку прямая $ AB $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ AD $ и $ AA_1 $) в плоскости грани $ (ADD_1A_1) $, то прямая $ AB $ перпендикулярна всей этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $ A_1M $ лежит в плоскости $ (ADD_1A_1) $, то $ AB \perp A_1M $.

Таким образом, мы показали, что $ A_1M \perp AD $ и $ A_1M \perp AB $. Так как $ AD $ и $ AB $ — две пересекающиеся прямые в плоскости основания, то $ A_1M $ перпендикулярен плоскости основания $ (ABCD) $. Следовательно, длина отрезка $ A_1M $ и есть высота параллелепипеда $ H $.

$ H = A_1M = 4 $ см.

3. Вычислим объём параллелепипеда.$ V = S_{осн} \cdot H = 64 \cdot 4 = 256 $ см³.

Ответ: $ 256 $ см³.