Номер 2, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 2

Цилиндр. Конус. Усечённый конус. Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса с многогранниками

1. Прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 14 см, а образующая — 17 см. Найдите высоту усечённого конуса.

3. В основании конуса проведена хорда AB на расстоянии 3 см от центра O основания, отрезок MO — высота конуса, $MO = 6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки O до плоскости AMB.

4. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани, содержащая основание этого треугольника, равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

5. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

1.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. В данном случае вращение происходит вокруг меньшей стороны, поэтому высота цилиндра $h$ равна 8 см, а радиус основания $r$ равен 10 см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$

Подставим наши значения:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 10 (8+10) = 20\pi \cdot 18 = 360\pi$ см².

Ответ: $360\pi$ см².

2.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобокой трапецией. Радиусы оснований конуса $R = 14$ см и $r = 6$ см являются половинами оснований этой трапеции, а образующая $l = 17$ см — её боковой стороной. Высота усечённого конуса $h$ является высотой этой трапеции.

Если провести высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему, мы получим прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет образующая $l$, одним катетом — высота $h$, а вторым катетом — разность радиусов $R-r$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Подставим значения:

$h = \sqrt{17^2 - (14-6)^2} = \sqrt{289 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

3.

Пусть K — середина хорды AB. Тогда отрезок OK перпендикулярен хорде AB, и его длина равна расстоянию от центра до хорды, то есть $OK = 3$ см. Высота конуса MO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, следовательно, $MO \perp OK$. Таким образом, треугольник MOK является прямоугольным с катетами $MO = 6\sqrt{2}$ см и $OK = 3$ см.

По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция MK наклонной на плоскость основания (отрезок OK) перпендикулярна прямой AB в основании, то и сама наклонная MK перпендикулярна AB ($MK \perp AB$).

Плоскость MOK перпендикулярна прямой AB, а значит, плоскость MOK перпендикулярна плоскости AMB (так как AB лежит в плоскости AMB). Расстояние от точки O до плоскости AMB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на линию пересечения этих плоскостей, то есть на прямую MK. Обозначим этот перпендикуляр OH, где $H \in MK$. Таким образом, OH — это высота прямоугольного треугольника MOK, проведённая к гипотенузе MK.

Сначала найдём гипотенузу MK по теореме Пифагора:

$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{72 + 9} = \sqrt{81} = 9$ см.

Высоту OH можно найти, приравняв площади треугольника MOK, вычисленные разными способами:

$\frac{1}{2} MO \cdot OK = \frac{1}{2} MK \cdot OH$

$OH = \frac{MO \cdot OK}{MK} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 3}{9} = \frac{18\sqrt{2}}{9} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

4.

Площадь боковой поверхности описанного цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $H$ — высота цилиндра (и призмы), а $R$ — радиус его основания (радиус окружности, описанной около основания призмы).

Пусть $a$ — основание равнобедренного треугольника в основании призмы. Диагональ боковой грани $d$, содержащей это основание, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является само основание $a$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю $d$, высотой призмы $H$ и стороной $a$, находим:

$H = d \sin\beta$

$a = d \cos\beta$

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника. Угол, противолежащий основанию $a$, равен $180^\circ - 2\alpha$. По теореме синусов:

$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2R$

Так как $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:

$R = \frac{a}{2\sin(2\alpha)} = \frac{d \cos\beta}{2\sin(2\alpha)}$

Теперь подставим найденные $R$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi \left(\frac{d \cos\beta}{2\sin(2\alpha)}\right) (d \sin\beta) = \frac{\pi d^2 \sin\beta \cos\beta}{\sin(2\alpha)}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$, можно записать ответ в виде:

$S_{бок} = \frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2\sin(2\alpha)}$.

5.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны $45^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Конус, вписанный в пирамиду, имеет то же основание (вписанный круг) и ту же высоту.

Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в прямоугольный треугольник в основании пирамиды. Найдём гипотенузу этого треугольника с катетами $a=8$ см и $b=15$ см:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Высота конуса $H$ связана с радиусом $r$ и двугранным углом $\gamma = 45^\circ$ соотношением $H = r \cdot \tan(\gamma)$.

$H = 3 \cdot \tan(45^\circ) = 3 \cdot 1 = 3$ см.

Образующая конуса $l$ находится по теореме Пифагора из треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $r$ и самой образующей:

$l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

$S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $9\pi\sqrt{2}$ см².