Номер 17, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения,

вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 8,5 см, вписан цилиндр, диаметр основания которого равен 15 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между диагональю осевого сечения усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 8 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 10 см. Найдите высоту конуса.

1. Дано: шар с радиусом $R_{ш} = 8,5$ см, в который вписан цилиндр. Диаметр основания цилиндра $d_{ц} = 15$ см.
Найти: площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$.

Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r_{ц} h_{ц}$, где $r_{ц}$ — радиус основания цилиндра, а $h_{ц}$ — его высота.
1. Найдем радиус основания цилиндра:
$r_{ц} = d_{ц} / 2 = 15 / 2 = 7,5$ см.
2. Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. Сечением шара является большой круг радиусом $R_{ш}$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $d_{ц} = 2r_{ц}$ и $h_{ц}$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности большого круга.
3. Свяжем радиус шара, радиус цилиндра и его высоту через теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара (гипотенуза), радиусом основания цилиндра (катет) и половиной высоты цилиндра (второй катет).
$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + (h_{ц}/2)^2$
Подставим известные значения:
$8,5^2 = 7,5^2 + (h_{ц}/2)^2$
$72,25 = 56,25 + (h_{ц}/2)^2$
$(h_{ц}/2)^2 = 72,25 - 56,25 = 16$
$h_{ц}/2 = \sqrt{16} = 4$ см.
Следовательно, высота цилиндра $h_{ц} = 2 \cdot 4 = 8$ см.
4. Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2\pi r_{ц} h_{ц} = 2\pi \cdot 7,5 \cdot 8 = 15\pi \cdot 8 = 120\pi$ см².

Ответ: $120\pi$ см².

2. Дано: усеченный конус с радиусами оснований $R$ и $r$ ($R>r$). Угол между диагональю осевого сечения и высотой конуса равен $\alpha$.
Найти: радиус шара $R_{ш}$, описанного около усеченного конуса.

Решение:
1. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны — образующие конуса $l$. Высота трапеции — это высота конуса $h$.
2. Диагональ осевого сечения $d$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен $h$, а второй катет равен сумме проекций радиусов на прямую, проходящую через центр большего основания, т.е. $R+r$. Угол между диагональю $d$ и высотой $h$ равен $\alpha$.
Из этого треугольника имеем:
$\tan \alpha = \frac{R+r}{h} \implies h = \frac{R+r}{\tan \alpha} = (R+r)\cot \alpha$.
3. Шар, описанный около усеченного конуса, имеет тот же радиус, что и окружность, описанная около его осевого сечения (трапеции). Радиус этой окружности ($R_{ш}$) можно найти по формуле для радиуса описанной окружности треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами трапеции.
Рассмотрим треугольник со сторонами $2R$ (большее основание трапеции), $l$ (боковая сторона) и $d$ (диагональ). Радиус описанной около него окружности (и всей трапеции) $R_{ш} = \frac{(2R) \cdot l \cdot d}{4 \cdot Area}$, где $Area$ — площадь этого треугольника. Площадь этого треугольника равна $Area = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = Rh$.
Тогда $R_{ш} = \frac{2Rld}{4Rh} = \frac{ld}{2h}$.
4. Выразим $l$ и $d$ через $R, r$ и $h$.
Длина диагонали $d$ из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R+r$:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$.
Длина образующей $l$ из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R-r$:
$l^2 = h^2 + (R-r)^2$.
5. Подставим эти выражения в формулу для $R_{ш}$:
$R_{ш}^2 = \frac{l^2 d^2}{4h^2} = \frac{(h^2 + (R-r)^2)(h^2 + (R+r)^2)}{4h^2}$.
Вспомним, что из пункта 2 мы можем выразить $d$ через $h$ и $\alpha$: $\cos \alpha = \frac{h}{d} \implies d = \frac{h}{\cos \alpha}$.
Подставим это в формулу $R_{ш} = \frac{ld}{2h}$:
$R_{ш} = \frac{l \cdot (h/\cos \alpha)}{2h} = \frac{l}{2\cos \alpha}$.
Отсюда $R_{ш}^2 = \frac{l^2}{4\cos^2 \alpha} = \frac{h^2 + (R-r)^2}{4\cos^2 \alpha}$.
6. Теперь подставим выражение для $h = (R+r)\cot \alpha$:
$R_{ш}^2 = \frac{((R+r)\cot \alpha)^2 + (R-r)^2}{4\cos^2 \alpha} = \frac{(R+r)^2\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + (R-r)^2}{4\cos^2\alpha}$
$R_{ш}^2 = \frac{(R+r)^2}{4\sin^2\alpha} + \frac{(R-r)^2}{4\cos^2\alpha}$.
Это выражение можно привести к более компактному виду:
$R_{ш}^2 = \frac{(R+r)^2\cos^2\alpha + (R-r)^2\sin^2\alpha}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$.
$R_{ш} = \frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)}$.

3. Дано: конус, вписанный в шар. Радиус основания конуса $r_{к} = 8$ см, радиус шара $R_{ш} = 10$ см.
Найти: высоту конуса $h_{к}$.

Решение:
1. Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Сечением шара является большой круг радиусом $R_{ш}$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2r_{к}$ и высотой $h_{к}$. Вершины треугольника лежат на окружности большого круга.
2. Пусть O — центр шара. Он лежит на оси конуса, которая является высотой равнобедренного треугольника в сечении. Пусть M — центр основания конуса. Тогда OM — расстояние от центра шара до плоскости основания конуса.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, проведенным к точке на окружности основания конуса (гипотенуза), радиусом основания конуса (катет) и отрезком OM (второй катет).
По теореме Пифагора:
$R_{ш}^2 = r_{к}^2 + OM^2$
$10^2 = 8^2 + OM^2$
$100 = 64 + OM^2$
$OM^2 = 100 - 64 = 36$
$OM = 6$ см.
4. Высота конуса $h_{к}$ состоит из отрезка OM и радиуса шара, проведенного к вершине конуса. Возможны два случая:
Случай 1: Центр шара O находится между вершиной конуса и его основанием. В этом случае конус "высокий".
Высота конуса равна сумме радиуса шара и расстояния OM:
$h_{к1} = R_{ш} + OM = 10 + 6 = 16$ см.
Случай 2: Основание конуса находится между вершиной конуса и центром шара. В этом случае конус "низкий" и целиком помещается в полушарие.
Высота конуса равна разности радиуса шара и расстояния OM:
$h_{к2} = R_{ш} - OM = 10 - 6 = 4$ см.
Оба случая являются решениями задачи.

Ответ: 16 см или 4 см.