Номер 11, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 12 см, а высота — 24 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Площади оснований усечённого конуса равны $9 \text{ см}^2$ и $49 \text{ см}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а угол при вершине равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через вершину угла при основании и перпендикулярна основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (R+r)l$

где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию, радиусы оснований равны $R = 12$ см и $r = 5$ см, а высота $h = 24$ см.

Образующую $l$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — сама образующая. По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Подставим известные значения:

$R-r = 12 - 5 = 7$ см.

$l = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (12 + 5) \cdot 25 = \pi \cdot 17 \cdot 25 = 425\pi$ см².

Ответ: $425\pi$ см².

2.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_{сеч}$ — площадь сечения, проведённого через середину высоты параллельно основаниям. Основания и сечение являются кругами.

Площадь круга связана с его радиусом $r$ формулой $S = \pi r^2$, откуда $r = \sqrt{S/\pi}$.

Радиусы оснований равны:

$r_1 = \sqrt{S_1/\pi} = \sqrt{9/\pi} = 3/\sqrt{\pi}$ см.

$r_2 = \sqrt{S_2/\pi} = \sqrt{49/\pi} = 7/\sqrt{\pi}$ см.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Сечение, проведённое через середину высоты, в осевом сечении будет средней линией трапеции или отрезком, параллельным основаниям. Радиус такого сечения является средним арифметическим радиусов оснований.

$r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Площадь этого сечения будет равна:

$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi \left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)^2 = \pi \frac{(\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi})^2}{4} = \pi \frac{(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{\sqrt{\pi}})^2}{4} = \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4}$

Подставим значения площадей оснований $S_1=9$ см² и $S_2=49$ см²:

$S_{сеч} = \frac{(\sqrt{9} + \sqrt{49})^2}{4} = \frac{(3 + 7)^2}{4} = \frac{10^2}{4} = \frac{100}{4} = 25$ см².

Ответ: 25 см².

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC = a$ и углом при вершине $A$, равным $\beta$. Ось вращения проходит через вершину $C$ и перпендикулярна основанию $BC$.

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон треугольника: $BC$, $AC$ и $AB$.

1. Вращение основания BC.

Сторона $BC$ вращается вокруг оси, проходящей через ее конец $C$ и перпендикулярной ей. В результате образуется круг радиусом $R_{BC} = a$. Его площадь:

$S_1 = \pi a^2$

2. Вращение боковых сторон AC и AB.

Найдем длину боковой стороны. Пусть $b = AC = AB$. Проведем высоту $AM$ к основанию. В прямоугольном треугольнике $AMC$ катет $MC = a/2$, а угол $\angle CAM = \beta/2$. Тогда:

$b = AC = \frac{MC}{\sin(\beta/2)} = \frac{a/2}{\sin(\beta/2)} = \frac{a}{2\sin(\beta/2)}$

Для удобства введем систему координат: ось вращения — ось $Oy$, основание $BC$ лежит на оси $Ox$, вершина $C$ — в начале координат $(0,0)$. Тогда $B$ имеет координаты $(a,0)$. Вершина $A$ имеет координаты $(a/2, h)$, где $h$ — высота треугольника. Расстояние от $A$ до оси вращения равно $a/2$.

3. Вращение стороны AC.

Сторона $AC$ образует коническую поверхность. Радиус основания этого конуса равен расстоянию от точки $A$ до оси вращения, то есть $r_{AC} = a/2$. Образующая — это длина стороны $AC$, то есть $l_{AC} = b$. Площадь этой поверхности:

$S_2 = \pi r_{AC} l_{AC} = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2\sin(\beta/2)} = \frac{\pi a^2}{4\sin(\beta/2)}$

4. Вращение стороны AB.

Для нахождения площади поверхности, образованной вращением стороны $AB$, воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: $S = 2\pi \bar{r} L$, где $L$ — длина отрезка, а $\bar{r}$ — расстояние от его центра масс (середины) до оси вращения.

Длина отрезка $L = AB = b = \frac{a}{2\sin(\beta/2)}$.

Координаты серединного отрезка $AB$, где $A(a/2, h)$ и $B(a,0)$, равны $(\frac{a/2+a}{2}, \frac{h+0}{2}) = (\frac{3a}{4}, \frac{h}{2})$. Расстояние до оси $Oy$ равно $\bar{r} = 3a/4$.

Площадь поверхности:

$S_3 = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot \frac{a}{2\sin(\beta/2)} = \frac{3\pi a^2}{4\sin(\beta/2)}$

5. Общая площадь поверхности.

Суммируем площади всех трех поверхностей:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{4\sin(\beta/2)} + \frac{3\pi a^2}{4\sin(\beta/2)}$

$S_{общ} = \pi a^2 + \frac{4\pi a^2}{4\sin(\beta/2)} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{\sin(\beta/2)}$

Вынесем общий множитель:

$S_{общ} = \pi a^2 \left(1 + \frac{1}{\sin(\beta/2)}\right)$

Ответ: $\pi a^2 \left(1 + \frac{1}{\sin(\beta/2)}\right)$.