Номер 8, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна $16$ см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против образующей, равен $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна $16$ см, а угол между диагоналями — $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $10 \text{ см}^2$ и $16 \text{ см}^2$. Угол между плоскостями сечений равен $60^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ (равная образующей) и диаметр его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $d = 16$ см.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, каждая диагональ делится на два отрезка по $16/2 = 8$ см.

Угол между диагоналями, лежащий против образующей (стороны $H$), равен $120^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной $H$. Две его стороны равны 8 см, а угол между ними — $120^\circ$. По теореме косинусов найдем высоту $H$:

$H^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

$H^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$

$H = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Смежный угол между диагоналями равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Этот угол лежит напротив другой стороны прямоугольника — диаметра $D$. Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 8 см, 8 см и $D$. Так как угол при вершине этого треугольника равен $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $D$ также равна 8 см.

Радиус основания цилиндра $R = D/2 = 8/2 = 4$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$:

$S_{бок} = 2 \pi \cdot 4 \cdot 8\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \pi$ см².

Ответ: $64\sqrt{3} \pi$ см².

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник $ABCD$. Одна его сторона равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi R$.

Дана диагональ прямоугольника $d = 16$ см и угол между диагоналями $60^\circ$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, образуя отрезки по $16/2 = 8$ см. Рассмотрим треугольник, образованный одной из сторон прямоугольника и двумя половинами диагоналей. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 8 см и углом при вершине $60^\circ$. Следовательно, он равносторонний, и одна из сторон прямоугольника равна 8 см.

Смежный угол между диагоналями равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Вторую сторону прямоугольника, назовем ее $b$, найдем по теореме косинусов из другого треугольника, образованного половинами диагоналей:

$b^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$

$b = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ см.

Стороны прямоугольника равны 8 см и $8\sqrt{3}$ см. По условию, меньшая сторона является высотой цилиндра. Так как $8 < 8\sqrt{3}$, то высота $H = 8$ см. Следовательно, длина окружности основания $C = 8\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус основания $R$ из формулы $C = 2 \pi R$:

$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{8\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{3}}{\pi}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = C \cdot H + 2\pi R^2$

$S_{бок} = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}$ см².

$S_{осн} = \pi \left(\frac{4\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{16 \cdot 3}{\pi^2} = \frac{48}{\pi}$ см².

$S_{полн} = 64\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{48}{\pi} = 64\sqrt{3} + \frac{96}{\pi}$ см².

Ответ: $64\sqrt{3} + \frac{96}{\pi}$ см².

Сечения цилиндра, проходящие через одну образующую, являются прямоугольниками. Одна сторона у них общая — высота цилиндра $H$. Вторые стороны, $a$ и $b$, являются хордами в основании цилиндра.

Площади данных сечений равны $S_1 = H \cdot a = 10$ см² и $S_2 = H \cdot b = 16$ см².

Угол между плоскостями сечений равен углу между хордами $a$ и $b$ в плоскости основания и по условию составляет $60^\circ$.

Искомое сечение проходит через две другие образующие данных сечений. Это также прямоугольник, одна сторона которого равна $H$, а другая — хорда $c$, соединяющая концы хорд $a$ и $b$. Площадь этого сечения $S_x = H \cdot c$.

В плоскости основания хорды $a$, $b$ и $c$ образуют треугольник, для которого по теореме косинусов справедливо равенство:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ)$

Домножим обе части этого равенства на $H^2$:

$(Hc)^2 = (Ha)^2 + (Hb)^2 - 2(Ha)(Hb)\cos(60^\circ)$

Заменяя произведения на соответствующие площади, получаем:

$S_x^2 = S_1^2 + S_2^2 - 2S_1S_2\cos(60^\circ)$

Подставляем известные значения $S_1=10$, $S_2=16$ и $\cos(60^\circ) = 1/2$:

$S_x^2 = 10^2 + 16^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}$

$S_x^2 = 100 + 256 - 160 = 196$

$S_x = \sqrt{196} = 14$ см².

Ответ: 14 см².