Номер 3, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $\vec{a}$ (-4; 2; 3) и $\vec{b}$ (1; 4; -5). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$;

2) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $|\vec{a} - \vec{b}|$.

2. Упростите выражение $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{DB}$ через векторы $\vec{CC_1}$, $\vec{CD}$ и $\vec{CB_1}$.

1) координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$
Для данных векторов $\vec{a}(-4; 2; 3)$ и $\vec{b}(1; 4; -5)$ координаты их суммы находятся путем сложения соответствующих координат:
$\vec{a}+\vec{b} = (-4 + 1; 2 + 4; 3 + (-5)) = (-3; 6; -2)$.
Ответ: $(-3; 6; -2)$.

2) координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$
Координаты разности векторов находятся путем вычитания соответствующих координат вектора $\vec{b}$ из координат вектора $\vec{a}$:
$\vec{a}-\vec{b} = (-4 - 1; 2 - 4; 3 - (-5)) = (-5; -2; 8)$.
Ответ: $(-5; -2; 8)$.

3) $|\vec{a}-\vec{b}|$
Модуль (длина) вектора вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат. Координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$ найдены в предыдущем пункте: $(-5; -2; 8)$.
$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 4 + 64} = \sqrt{93}$.
Ответ: $\sqrt{93}$.

2.
Для упрощения векторного выражения $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}$ воспользуемся правилами действий над векторами. Сгруппируем векторы с общими начальными точками:
$(\vec{AB} - \vec{AC}) + (\vec{DE} - \vec{DF}) - \vec{FB}$.
Применяем правило вычитания векторов, отложенных от одной точки ($\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$):
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
$\vec{DE} - \vec{DF} = \vec{FE}$.
Подставим результаты в выражение:
$\vec{CB} + \vec{FE} - \vec{FB}$.
Вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора: $- \vec{FB} = \vec{BF}$.
$\vec{CB} + \vec{FE} + \vec{BF}$.
Перегруппируем слагаемые, чтобы применить правило треугольника для последовательного сложения векторов ($\vec{XY}+\vec{YZ}=\vec{XZ}$):
$(\vec{CB} + \vec{BF}) + \vec{FE} = \vec{CF} + \vec{FE} = \vec{CE}$.
Ответ: $\vec{CE}$.

3.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ необходимо выразить вектор $\vec{DB}$ через векторы $\vec{CC_1}$, $\vec{CD}$ и $\vec{CB_1}$.
Разложим искомый вектор $\vec{DB}$ по правилу треугольника:
$\vec{DB} = \vec{DC} + \vec{CB}$.
Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, следовательно, $\vec{DC} = -\vec{CD}$.
Теперь выразим вектор $\vec{CB}$ через заданные векторы. Рассмотрим треугольник $CBB_1$. По правилу сложения векторов:
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1}$.
В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, их задающие, равны: $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
Заменяем $\vec{BB_1}$ на $\vec{CC_1}$ в предыдущем равенстве:
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{CC_1}$.
Из этого соотношения выражаем $\vec{CB}$:
$\vec{CB} = \vec{CB_1} - \vec{CC_1}$.
Подставляем найденные выражения для $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ в исходное разложение для $\vec{DB}$:
$\vec{DB} = (-\vec{CD}) + (\vec{CB_1} - \vec{CC_1})$.
$\vec{DB} = \vec{CB_1} - \vec{CD} - \vec{CC_1}$.
Ответ: $\vec{DB} = \vec{CB_1} - \vec{CD} - \vec{CC_1}$.