Номер 23, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Два шара имеют общий центр. Найдите радиус меньшего шара, если радиус большего шара равен 8 см, а объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров, равен $516\pi \text{ см}^3$.

2. На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $25\pi \text{ см}^2$. Найдите:

1) площадь поверхности шара;

2) площадь сферической части поверхности меньшего из образовавшихся шаровых сегментов.

3. Расстояние между центрами двух шаров равно 28 см, а их радиусы равны 17 см и 25 см. Найдите объём общей части данных шаров.

1.

Обозначим радиус большего шара как $R$, а радиус меньшего шара как $r$. По условию, $R = 8$ см. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объём тела, содержащегося между поверхностями двух концентрических шаров, равен разности объёмов большего и меньшего шаров: $V_{тела} = V_R - V_r = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$.

По условию, $V_{тела} = 516\pi$ см³. Подставим известные значения в формулу: $516\pi = \frac{4}{3}\pi (8^3 - r^3)$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $516 = \frac{4}{3} (512 - r^3)$.

Умножим обе части на $\frac{3}{4}$: $516 \cdot \frac{3}{4} = 512 - r^3$
$129 \cdot 3 = 512 - r^3$
$387 = 512 - r^3$.

Отсюда найдём $r^3$: $r^3 = 512 - 387$
$r^3 = 125$.

Теперь найдём радиус $r$, извлекая кубический корень: $r = \sqrt[3]{125} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2.

Пусть $R$ — радиус шара, $d$ — расстояние от центра шара до сечения, $r_{сеч}$ — радиус сечения. По условию, $d = 12$ см, а площадь сечения $S_{сеч} = 25\pi$ см². Сечение шара плоскостью является кругом. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$. Найдем радиус сечения: $\pi r_{сеч}^2 = 25\pi$
$r_{сеч}^2 = 25$
$r_{сеч} = 5$ см.

Радиус шара $R$, расстояние до сечения $d$ и радиус сечения $r_{сеч}$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r_{сеч}^2$. Подставим известные значения: $R^2 = 12^2 + 5^2$
$R^2 = 144 + 25$
$R^2 = 169$
$R = \sqrt{169} = 13$ см.

1) площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение радиуса шара $R = 13$ см: $S = 4\pi \cdot 13^2 = 4\pi \cdot 169 = 676\pi$ см².

Ответ: $676\pi$ см².

2) площадь сферической части поверхности меньшего из образовавшихся шаровых сегментов

Сечение делит шар на два шаровых сегмента. Нам нужно найти площадь сферической части (сегментной поверхности) меньшего из них. Высота меньшего шарового сегмента $h$ равна разности между радиусом шара и расстоянием от центра до сечения: $h = R - d = 13 - 12 = 1$ см. Площадь сферической части шарового сегмента (сферического свода) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$. Подставим значения $R = 13$ см и $h = 1$ см: $S_{сегм} = 2\pi \cdot 13 \cdot 1 = 26\pi$ см².

Ответ: $26\pi$ см².

3.

Пусть радиусы шаров $R_1 = 17$ см и $R_2 = 25$ см, а расстояние между их центрами $d = 28$ см. Общая часть двух шаров представляет собой тело, состоящее из двух шаровых сегментов, приложенных друг к другу основаниями. Объём этого тела равен сумме объёмов этих двух сегментов.

Сначала найдём положение общего основания (круга пересечения). Пусть $x$ — расстояние от центра первого шара до плоскости сечения. Тогда расстояние от центра второго шара до этой же плоскости будет $d-x = 28-x$. Радиус круга пересечения $r$ можно выразить из двух прямоугольных треугольников: $r^2 = R_1^2 - x^2$ $r^2 = R_2^2 - (d-x)^2$

Приравняем правые части: $R_1^2 - x^2 = R_2^2 - (d-x)^2$
$17^2 - x^2 = 25^2 - (28-x)^2$
$289 - x^2 = 625 - (784 - 56x + x^2)$
$289 - x^2 = 625 - 784 + 56x - x^2$
$289 = -159 + 56x$
$448 = 56x$
$x = \frac{448}{56} = 8$ см.

Теперь мы можем найти высоты шаровых сегментов. Высота первого сегмента (от первого шара): $h_1 = R_1 - x = 17 - 8 = 9$ см. Высота второго сегмента (от второго шара): $h_2 = R_2 - (d-x) = 25 - (28-8) = 25 - 20 = 5$ см.

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$. Найдём объём первого сегмента: $V_1 = \pi h_1^2 (R_1 - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 9^2 (17 - \frac{9}{3}) = 81\pi (17 - 3) = 81\pi \cdot 14 = 1134\pi$ см³.

Найдём объём второго сегмента: $V_2 = \pi h_2^2 (R_2 - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 5^2 (25 - \frac{5}{3}) = 25\pi (\frac{75-5}{3}) = 25\pi \cdot \frac{70}{3} = \frac{1750\pi}{3}$ см³.

Общий объём равен сумме объёмов двух сегментов: $V = V_1 + V_2 = 1134\pi + \frac{1750\pi}{3} = \frac{3 \cdot 1134\pi}{3} + \frac{1750\pi}{3} = \frac{3402\pi + 1750\pi}{3} = \frac{5152\pi}{3}$ см³. Этот результат можно также записать в виде смешанной дроби: $1717\frac{1}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{5152\pi}{3}$ см³.