Номер 2, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $D$, являющующуюся прообразом точки $D_1 (3; 1; -4)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{d} (-1; 2; -5)$. Найдите модуль вектора $\vec{D_1 D}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (2; 3; 5)$, $B (1; 4; -2)$ и $C (-1; -7; -3)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $D$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $AB_1$ отметили точку $E$. Докажите, что векторы $CE$, $CB_1$ и $C_1A_1$ являются компланарными.

1.

Координаты точки $D(x_D; y_D; z_D)$, являющейся образом точки $D_1(x_1; y_1; z_1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{d}(d_x; d_y; d_z)$, находятся путем сложения соответствующих координат точки и вектора:

$x_D = x_1 + d_x = 3 + (-1) = 2$
$y_D = y_1 + d_y = 1 + 2 = 3$
$z_D = z_1 + d_z = -4 + (-5) = -9$

Таким образом, координаты точки $D$ — это $(2; 3; -9)$.

Вектор, на который был выполнен перенос из точки $D_1$ в точку $D$, — это $\vec{D_1D}$. По условию задачи, этот перенос был на вектор $\vec{d}$, следовательно, $\vec{D_1D} = \vec{d}(-1; 2; -5)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{D_1D}$ равен модулю вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(a; b; c)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

$|\vec{D_1D}| = |\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.

Ответ: $D(2; 3; -9)$, $|\vec{D_1D}| = \sqrt{30}$.

2.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Пусть искомая вершина $D$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$ как разность координат его конца $D(x; y; z)$ и начала $A(2; 3; 5)$:
$\vec{AD} = (x - 2; y - 3; z - 5)$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$ как разность координат его конца $C(-1; -7; -3)$ и начала $B(1; 4; -2)$:
$\vec{BC} = (-1 - 1; -7 - 4; -3 - (-2)) = (-2; -11; -1)$.

Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Составим и решим систему уравнений:
$x - 2 = -2 \implies x = 0$
$y - 3 = -11 \implies y = -8$
$z - 5 = -1 \implies z = 4$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(0; -8; 4)$.

Ответ: $D(0; -8; 4)$.

3.

Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Докажем, что вектор $\vec{CE}$ можно представить в виде $\vec{CE} = x \cdot \vec{CB_1} + y \cdot \vec{C_1A_1}$ для некоторых скалярных коэффициентов $x$ и $y$.

Введем базисные векторы с началом в точке $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим векторы $\vec{CE}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1A_1}$ через базис $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Для этого сначала определим радиус-векторы ключевых точек из начала $A$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{AA_1} = \vec{c}$

Точка $E$ лежит на отрезке $AB_1$, значит, существует такое число $k \in [0, 1]$, что $\vec{AE} = k \cdot \vec{AB_1} = k(\vec{a} + \vec{c})$.

Теперь найдем выражения для искомых векторов:
$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC} = k(\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = (k-1)\vec{a} - \vec{b} + k\vec{c}$
$\vec{CB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AC} = (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{c} - \vec{b}$
$\vec{C_1A_1} = \vec{AA_1} - \vec{AC_1} = \vec{c} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Подставим полученные выражения в уравнение для проверки компланарности $\vec{CE} = x \cdot \vec{CB_1} + y \cdot \vec{C_1A_1}$:
$(k-1)\vec{a} - \vec{b} + k\vec{c} = x(\vec{c} - \vec{b}) + y(-\vec{a} - \vec{b})$
$(k-1)\vec{a} - 1\vec{b} + k\vec{c} = -y\vec{a} - (x + y)\vec{b} + x\vec{c}$

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ не компланарны (линейно независимы), то равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих коэффициентов:
$\begin{cases} k-1 = -y \\ -1 = -x - y \\ k = x \end{cases}$

Решим данную систему. Из первого и третьего уравнений находим $y = 1-k$ и $x = k$. Подставим эти значения во второе уравнение для проверки:
$-1 = -(k) - (1-k) \implies -1 = -k - 1 + k \implies -1 = -1$

Полученное тождество означает, что система имеет решение при любом значении $k \in [0, 1]$. Таким образом, для любого положения точки $E$ на отрезке $AB_1$ вектор $\vec{CE}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1A_1}$. Это по определению означает, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1A_1}$ компланарны.

Ответ: Доказано, что данные векторы являются компланарными.