Номер 9, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую из сторон основания, образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

2. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, ос- нования которой равны 6 см и 24 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{538}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1. Дано: прямоугольный параллелепипед со сторонами основания $a=10$ см и $b=24$ см. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую сторону основания ($a=10$ см), образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Цилиндр описан около этого параллелепипеда.
Для нахождения площади полной поверхности цилиндра необходимо определить его радиус основания $R$ и высоту $H$.
Так как цилиндр описан около прямоугольного параллелепипеда, его основание (окружность) описано около основания параллелепипеда (прямоугольника). Диаметр этой окружности равен диагонали прямоугольника $d$.
Найдем диагональ основания по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали основания параллелепипеда:
$R = \frac{d}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.
Высота цилиндра $H$ совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем высоту, используя условие об угле. Диагональ боковой грани, сторона основания $a$ и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на основание, то есть стороной $a$.
В этом прямоугольном треугольнике $H$ — катет, противолежащий углу $60^\circ$, а $a$ — прилежащий катет. Следовательно:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{a}$
$H = a \cdot \tan(60^\circ) = 10 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R(R + H)$
Подставляем найденные значения $R = 13$ и $H = 10\sqrt{3}$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 13(13 + 10\sqrt{3}) = 26\pi(13 + 10\sqrt{3})$ см².
Ответ: $26\pi(13 + 10\sqrt{3})$ см².

2. Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Обе призмы имеют ту же высоту $H$.
Сначала рассмотрим вписанную правильную шестиугольную призму. Ее основание — правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Сторона такого шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R$.
Периметр основания шестиугольной призмы: $P_6 = 6a_6 = 6R$.
Площадь боковой поверхности вписанной шестиугольной призмы: $S_{бок,6} = P_6 \cdot H = 6RH$.
Теперь рассмотрим описанную правильную треугольную призму. Ее основание — правильный треугольник, описанный около окружности радиуса $R$. В этом случае $R$ является радиусом вписанной в треугольник окружности.
Связь между стороной правильного треугольника $a_3$ и радиусом вписанной в него окружности $R$ выражается формулой $R = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$, откуда получаем сторону треугольника $a_3 = 2\sqrt{3}R$.
Периметр основания треугольной призмы: $P_3 = 3a_3 = 3 \cdot 2\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R$.
Площадь боковой поверхности описанной треугольной призмы: $S_{бок,3} = P_3 \cdot H = 6\sqrt{3}RH$.
Найдем искомое отношение площадей боковых поверхностей (шестиугольной к треугольной):
$\frac{S_{бок,6}}{S_{бок,3}} = \frac{6RH}{6\sqrt{3}RH} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция. Вписать цилиндр в прямую призму возможно тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность. Для выпуклого четырехугольника (которым является трапеция) это возможно, если суммы длин его противоположных сторон равны.
Пусть основания трапеции равны $b_1 = 6$ см и $b_2 = 24$ см, а равные боковые стороны — $c$. Тогда должно выполняться условие:
$b_1 + b_2 = c + c \implies 6 + 24 = 2c \implies 30 = 2c \implies c = 15$ см.
Радиус вписанного цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию, который в свою очередь равен половине высоты трапеции $h_{тр}$.
Для нахождения высоты $h_{тр}$ проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет на большем основании прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=15$ и катетом, равным $\frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{24 - 6}{2} = 9$ см. По теореме Пифагора:
$h_{тр}^2 = c^2 - (\frac{b_2 - b_1}{2})^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ см².
$h_{тр} = \sqrt{144} = 12$ см.
Следовательно, радиус основания цилиндра: $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Теперь найдем высоту призмы $H$, которая равна высоте цилиндра. Используем диагональ призмы $D = \sqrt{538}$ см. Для прямой призмы верно соотношение $D^2 = d_{осн}^2 + H^2$, где $d_{осн}$ — диагональ основания.
Найдем квадрат диагонали трапеции $d_{осн}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции, ее высотой $h_{тр}$ и отрезком на большем основании, длина которого $b_2 - \frac{b_2 - b_1}{2} = 24 - 9 = 15$ см.
По теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = h_{тр}^2 + (15)^2 = 12^2 + 15^2 = 144 + 225 = 369$.
Теперь можем найти высоту призмы $H$:
$H^2 = D^2 - d_{осн}^2 = (\sqrt{538})^2 - 369 = 538 - 369 = 169$.
$H = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rH$.
$S_{бок} = 2\pi \cdot 6 \cdot 13 = 156\pi$ см².
Ответ: $156\pi$ см².