Страница 37 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую из сторон основания, образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

2. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, ос- нования которой равны 6 см и 24 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{538}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1. Дано: прямоугольный параллелепипед со сторонами основания $a=10$ см и $b=24$ см. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую сторону основания ($a=10$ см), образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Цилиндр описан около этого параллелепипеда.
Для нахождения площади полной поверхности цилиндра необходимо определить его радиус основания $R$ и высоту $H$.
Так как цилиндр описан около прямоугольного параллелепипеда, его основание (окружность) описано около основания параллелепипеда (прямоугольника). Диаметр этой окружности равен диагонали прямоугольника $d$.
Найдем диагональ основания по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали основания параллелепипеда:
$R = \frac{d}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.
Высота цилиндра $H$ совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем высоту, используя условие об угле. Диагональ боковой грани, сторона основания $a$ и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на основание, то есть стороной $a$.
В этом прямоугольном треугольнике $H$ — катет, противолежащий углу $60^\circ$, а $a$ — прилежащий катет. Следовательно:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{a}$
$H = a \cdot \tan(60^\circ) = 10 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R(R + H)$
Подставляем найденные значения $R = 13$ и $H = 10\sqrt{3}$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 13(13 + 10\sqrt{3}) = 26\pi(13 + 10\sqrt{3})$ см².
Ответ: $26\pi(13 + 10\sqrt{3})$ см².

2. Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Обе призмы имеют ту же высоту $H$.
Сначала рассмотрим вписанную правильную шестиугольную призму. Ее основание — правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Сторона такого шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R$.
Периметр основания шестиугольной призмы: $P_6 = 6a_6 = 6R$.
Площадь боковой поверхности вписанной шестиугольной призмы: $S_{бок,6} = P_6 \cdot H = 6RH$.
Теперь рассмотрим описанную правильную треугольную призму. Ее основание — правильный треугольник, описанный около окружности радиуса $R$. В этом случае $R$ является радиусом вписанной в треугольник окружности.
Связь между стороной правильного треугольника $a_3$ и радиусом вписанной в него окружности $R$ выражается формулой $R = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$, откуда получаем сторону треугольника $a_3 = 2\sqrt{3}R$.
Периметр основания треугольной призмы: $P_3 = 3a_3 = 3 \cdot 2\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R$.
Площадь боковой поверхности описанной треугольной призмы: $S_{бок,3} = P_3 \cdot H = 6\sqrt{3}RH$.
Найдем искомое отношение площадей боковых поверхностей (шестиугольной к треугольной):
$\frac{S_{бок,6}}{S_{бок,3}} = \frac{6RH}{6\sqrt{3}RH} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция. Вписать цилиндр в прямую призму возможно тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность. Для выпуклого четырехугольника (которым является трапеция) это возможно, если суммы длин его противоположных сторон равны.
Пусть основания трапеции равны $b_1 = 6$ см и $b_2 = 24$ см, а равные боковые стороны — $c$. Тогда должно выполняться условие:
$b_1 + b_2 = c + c \implies 6 + 24 = 2c \implies 30 = 2c \implies c = 15$ см.
Радиус вписанного цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию, который в свою очередь равен половине высоты трапеции $h_{тр}$.
Для нахождения высоты $h_{тр}$ проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет на большем основании прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=15$ и катетом, равным $\frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{24 - 6}{2} = 9$ см. По теореме Пифагора:
$h_{тр}^2 = c^2 - (\frac{b_2 - b_1}{2})^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ см².
$h_{тр} = \sqrt{144} = 12$ см.
Следовательно, радиус основания цилиндра: $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Теперь найдем высоту призмы $H$, которая равна высоте цилиндра. Используем диагональ призмы $D = \sqrt{538}$ см. Для прямой призмы верно соотношение $D^2 = d_{осн}^2 + H^2$, где $d_{осн}$ — диагональ основания.
Найдем квадрат диагонали трапеции $d_{осн}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции, ее высотой $h_{тр}$ и отрезком на большем основании, длина которого $b_2 - \frac{b_2 - b_1}{2} = 24 - 9 = 15$ см.
По теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = h_{тр}^2 + (15)^2 = 12^2 + 15^2 = 144 + 225 = 369$.
Теперь можем найти высоту призмы $H$:
$H^2 = D^2 - d_{осн}^2 = (\sqrt{538})^2 - 369 = 538 - 369 = 169$.
$H = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rH$.
$S_{бок} = 2\pi \cdot 6 \cdot 13 = 156\pi$ см².
Ответ: $156\pi$ см².

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Образующая конуса равна 16 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна $270^\circ$. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен 6 см.

3. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($l$), а основанием — диаметр основания конуса ($d$). По условию, это сечение является прямоугольным треугольником. Так как он равнобедренный, то прямой угол находится при вершине конуса, а образующие являются катетами. Диаметр основания является гипотенузой.Дано: образующая $l = 16$ см.По теореме Пифагора для осевого сечения: $d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.Отсюда диаметр $d = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.Радиус основания конуса $r$ равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$.Подставим известные значения:$S_{полн} = \pi \cdot 8\sqrt{2} \cdot (8\sqrt{2} + 16) = \pi \cdot ( (8\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{2} \cdot 16 ) = \pi \cdot (64 \cdot 2 + 128\sqrt{2}) = \pi \cdot (128 + 128\sqrt{2}) = 128\pi(1 + \sqrt{2})$ см².
Ответ: $128\pi(1 + \sqrt{2})$ см².

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора ($L$) равна длине окружности основания конуса ($C$).Длина окружности основания конуса с радиусом $r = 6$ см вычисляется по формуле:$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 6 = 12\pi$ см.Длина дуги сектора с радиусом $l$ и углом $\alpha = 270^\circ$ вычисляется по формуле:$L = \frac{2\pi l \cdot \alpha}{360^\circ}$.Так как $L = C$, мы можем приравнять эти два выражения:$\frac{2\pi l \cdot 270^\circ}{360^\circ} = 12\pi$.Сократим $2\pi$ в обеих частях уравнения:$\frac{l \cdot 270}{360} = 6$.Упростим дробь $\frac{270}{360} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$:$\frac{3}{4}l = 6$.Теперь найдем $l$:$l = 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. При вращении треугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, образуется тело вращения. В данном случае вращение происходит вокруг наибольшей стороны (длиной 21 см). Тело вращения будет состоять из двух конусов, имеющих общее основание.Обозначим стороны треугольника: $a = 10$ см, $b = 17$ см, $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг стороны $c$.Образующие этих конусов будут равны двум другим сторонам треугольника: $l_1 = a = 10$ см и $l_2 = b = 17$ см.Радиус общего основания конусов ($r$) равен высоте треугольника, опущенной на наибольшую сторону ($h_c$).Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов:$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.Чтобы найти радиус $r$, сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона.Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.Площадь треугольника $S_{\triangle}$:$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 49} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ см².С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту и основание: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.Отсюда найдем высоту $h_c$, которая является радиусом $r$:$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h_c \implies h_c = \frac{84 \cdot 2}{21} = 4 \cdot 2 = 8$ см.Итак, $r = 8$ см.Теперь можем вычислить площадь поверхности тела вращения:$S_{тела} = \pi \cdot 8 \cdot (10 + 17) = \pi \cdot 8 \cdot 27 = 216\pi$ см².
Ответ: $216\pi$ см².

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 12 см, а высота — 24 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Площади оснований усечённого конуса равны $9 \text{ см}^2$ и $49 \text{ см}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а угол при вершине равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через вершину угла при основании и перпендикулярна основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (R+r)l$

где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию, радиусы оснований равны $R = 12$ см и $r = 5$ см, а высота $h = 24$ см.

Образующую $l$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — сама образующая. По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Подставим известные значения:

$R-r = 12 - 5 = 7$ см.

$l = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (12 + 5) \cdot 25 = \pi \cdot 17 \cdot 25 = 425\pi$ см².

Ответ: $425\pi$ см².

2.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_{сеч}$ — площадь сечения, проведённого через середину высоты параллельно основаниям. Основания и сечение являются кругами.

Площадь круга связана с его радиусом $r$ формулой $S = \pi r^2$, откуда $r = \sqrt{S/\pi}$.

Радиусы оснований равны:

$r_1 = \sqrt{S_1/\pi} = \sqrt{9/\pi} = 3/\sqrt{\pi}$ см.

$r_2 = \sqrt{S_2/\pi} = \sqrt{49/\pi} = 7/\sqrt{\pi}$ см.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Сечение, проведённое через середину высоты, в осевом сечении будет средней линией трапеции или отрезком, параллельным основаниям. Радиус такого сечения является средним арифметическим радиусов оснований.

$r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Площадь этого сечения будет равна:

$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi \left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)^2 = \pi \frac{(\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi})^2}{4} = \pi \frac{(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{\sqrt{\pi}})^2}{4} = \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4}$

Подставим значения площадей оснований $S_1=9$ см² и $S_2=49$ см²:

$S_{сеч} = \frac{(\sqrt{9} + \sqrt{49})^2}{4} = \frac{(3 + 7)^2}{4} = \frac{10^2}{4} = \frac{100}{4} = 25$ см².

Ответ: 25 см².

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC = a$ и углом при вершине $A$, равным $\beta$. Ось вращения проходит через вершину $C$ и перпендикулярна основанию $BC$.

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон треугольника: $BC$, $AC$ и $AB$.

1. Вращение основания BC.

Сторона $BC$ вращается вокруг оси, проходящей через ее конец $C$ и перпендикулярной ей. В результате образуется круг радиусом $R_{BC} = a$. Его площадь:

$S_1 = \pi a^2$

2. Вращение боковых сторон AC и AB.

Найдем длину боковой стороны. Пусть $b = AC = AB$. Проведем высоту $AM$ к основанию. В прямоугольном треугольнике $AMC$ катет $MC = a/2$, а угол $\angle CAM = \beta/2$. Тогда:

$b = AC = \frac{MC}{\sin(\beta/2)} = \frac{a/2}{\sin(\beta/2)} = \frac{a}{2\sin(\beta/2)}$

Для удобства введем систему координат: ось вращения — ось $Oy$, основание $BC$ лежит на оси $Ox$, вершина $C$ — в начале координат $(0,0)$. Тогда $B$ имеет координаты $(a,0)$. Вершина $A$ имеет координаты $(a/2, h)$, где $h$ — высота треугольника. Расстояние от $A$ до оси вращения равно $a/2$.

3. Вращение стороны AC.

Сторона $AC$ образует коническую поверхность. Радиус основания этого конуса равен расстоянию от точки $A$ до оси вращения, то есть $r_{AC} = a/2$. Образующая — это длина стороны $AC$, то есть $l_{AC} = b$. Площадь этой поверхности:

$S_2 = \pi r_{AC} l_{AC} = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2\sin(\beta/2)} = \frac{\pi a^2}{4\sin(\beta/2)}$

4. Вращение стороны AB.

Для нахождения площади поверхности, образованной вращением стороны $AB$, воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: $S = 2\pi \bar{r} L$, где $L$ — длина отрезка, а $\bar{r}$ — расстояние от его центра масс (середины) до оси вращения.

Длина отрезка $L = AB = b = \frac{a}{2\sin(\beta/2)}$.

Координаты серединного отрезка $AB$, где $A(a/2, h)$ и $B(a,0)$, равны $(\frac{a/2+a}{2}, \frac{h+0}{2}) = (\frac{3a}{4}, \frac{h}{2})$. Расстояние до оси $Oy$ равно $\bar{r} = 3a/4$.

Площадь поверхности:

$S_3 = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot \frac{a}{2\sin(\beta/2)} = \frac{3\pi a^2}{4\sin(\beta/2)}$

5. Общая площадь поверхности.

Суммируем площади всех трех поверхностей:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{4\sin(\beta/2)} + \frac{3\pi a^2}{4\sin(\beta/2)}$

$S_{общ} = \pi a^2 + \frac{4\pi a^2}{4\sin(\beta/2)} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{\sin(\beta/2)}$

Вынесем общий множитель:

$S_{общ} = \pi a^2 \left(1 + \frac{1}{\sin(\beta/2)}\right)$

Ответ: $\pi a^2 \left(1 + \frac{1}{\sin(\beta/2)}\right)$.