Страница 40 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 16

Многогранники,

описанные около сферы

1. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, если её апофема равна $l$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

2. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь основания призмы, если площадь её боковой поверхности равна $56 \, \text{см}^2$.

3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $80\sqrt{3}$ см, а центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении $17 : 8$, считая от вершины пирамиды. Найдите высоту пирамиды.

1. Пусть $r$ — радиус вписанного шара. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $SO$ и апофему $SM$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания (правильного шестиугольника), а $M$ — середина стороны основания. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$.
В этом треугольнике гипотенуза $SM$ — это апофема пирамиды, равная $l$. Катет $SO$ — высота пирамиды, а катет $OM$ — радиус вписанной в основание окружности (апофема основания). Двугранный угол при ребре основания — это угол $\angle SMO$, по условию он равен $\alpha$.
Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды $SO$ и равноудалён от плоскости основания и от боковых граней. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара $r$. Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, в сечении центр шара (обозначим его $O_c$) лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_cOM$ (с прямым углом при $O$). Катет $O_cO$ равен радиусу шара $r$. Угол $\angle O_cMO$ равен половине двугранного угла, то есть $\alpha/2$. Катет $OM$ можно найти из треугольника $SOM$: $OM = SM \cdot \cos(\alpha) = l \cos(\alpha)$.
В треугольнике $O_cOM$ тангенс угла $\angle O_cMO$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle O_cMO) = \frac{O_cO}{OM}$
$\tan(\alpha/2) = \frac{r}{l \cos(\alpha)}$
Отсюда выражаем радиус $r$:
$r = l \cos(\alpha) \tan(\alpha/2)$
Ответ: $r = l \cos(\alpha) \tan(\alpha/2)$.

2. Пусть $h$ — высота прямой призмы, $r$ — радиус вписанного в неё шара, $S_{осн}$ — площадь основания, а $P_{осн}$ — периметр основания.
Если в прямую призму вписан шар, то он касается верхнего и нижнего оснований. Это означает, что высота призмы равна диаметру шара: $h = 2r$.
Шар также касается всех боковых граней призмы. Это означает, что в основание призмы можно вписать окружность, и её радиус будет равен радиусу шара $r$.
Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
По условию $S_{бок} = 56 \, \text{см}^2$. Подставим $h=2r$:
$56 = P_{осн} \cdot 2r$
Отсюда получаем: $P_{осн} \cdot r = 28$.
Площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, находится по формуле: $S_{осн} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot r$.
Подставим найденное значение $P_{осн} \cdot r$:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 \, \text{см}^2$.
Ответ: $14 \, \text{см}^2$.

3. Пусть $h$ — искомая высота пирамиды $SH$, $r$ — радиус вписанного шара. Центр вписанного шара $O$ лежит на высоте $SH$.
По условию, центр шара делит высоту в отношении $17:8$, считая от вершины. Это означает, что $SO:OH = 17:8$.
Расстояние от центра вписанного шара до основания равно его радиусу, то есть $OH=r$.
Из пропорции находим $SO = \frac{17}{8}OH = \frac{17}{8}r$.
Тогда вся высота пирамиды $h = SH = SO + OH = \frac{17}{8}r + r = \frac{25}{8}r$.
Отсюда можно выразить радиус шара через высоту: $r = \frac{8}{25}h$.
Теперь найдём радиус шара через геометрические параметры пирамиды. Сторона основания (правильный треугольник) $a = 80\sqrt{3}$ см.
Радиус окружности, вписанной в основание, равен $r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 40$ см.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SH$ и апофему основания $HM$ (где $M$ — середина стороны основания). В этом сечении $HM = r_{осн} = 40$ см.
В прямоугольном треугольнике $SHM$ апофема пирамиды $SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{h^2 + 40^2} = \sqrt{h^2 + 1600}$.
Радиус вписанного в пирамиду шара можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объём пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь её полной поверхности.
Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(80\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = 4800\sqrt{3} \, \text{см}^2$.
Объём пирамиды: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4800\sqrt{3} \cdot h = 1600\sqrt{3}h$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot SM = \frac{1}{2} (3 \cdot 80\sqrt{3}) \sqrt{h^2 + 1600} = 120\sqrt{3}\sqrt{h^2+1600}$.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4800\sqrt{3} + 120\sqrt{3}\sqrt{h^2+1600}$.
Подставим всё в формулу для радиуса:
$r = \frac{3 \cdot 1600\sqrt{3}h}{4800\sqrt{3} + 120\sqrt{3}\sqrt{h^2+1600}} = \frac{4800\sqrt{3}h}{120\sqrt{3}(40+\sqrt{h^2+1600})} = \frac{40h}{40+\sqrt{h^2+1600}}$.
Теперь приравняем два выражения для $r$:
$\frac{8}{25}h = \frac{40h}{40+\sqrt{h^2+1600}}$
Поскольку $h \neq 0$, сокращаем на $h$:
$\frac{8}{25} = \frac{40}{40+\sqrt{h^2+1600}}$
$\frac{1}{25} = \frac{5}{40+\sqrt{h^2+1600}}$
$40+\sqrt{h^2+1600} = 5 \cdot 25 = 125$
$\sqrt{h^2+1600} = 125 - 40 = 85$
Возводим обе части в квадрат:
$h^2 + 1600 = 85^2 = 7225$
$h^2 = 7225 - 1600 = 5625$
$h = \sqrt{5625} = 75$ см.
Ответ: $75$ см.

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения,

вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 8,5 см, вписан цилиндр, диаметр основания которого равен 15 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между диагональю осевого сечения усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 8 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 10 см. Найдите высоту конуса.

1. Дано: шар с радиусом $R_{ш} = 8,5$ см, в который вписан цилиндр. Диаметр основания цилиндра $d_{ц} = 15$ см.
Найти: площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$.

Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r_{ц} h_{ц}$, где $r_{ц}$ — радиус основания цилиндра, а $h_{ц}$ — его высота.
1. Найдем радиус основания цилиндра:
$r_{ц} = d_{ц} / 2 = 15 / 2 = 7,5$ см.
2. Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. Сечением шара является большой круг радиусом $R_{ш}$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $d_{ц} = 2r_{ц}$ и $h_{ц}$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности большого круга.
3. Свяжем радиус шара, радиус цилиндра и его высоту через теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара (гипотенуза), радиусом основания цилиндра (катет) и половиной высоты цилиндра (второй катет).
$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + (h_{ц}/2)^2$
Подставим известные значения:
$8,5^2 = 7,5^2 + (h_{ц}/2)^2$
$72,25 = 56,25 + (h_{ц}/2)^2$
$(h_{ц}/2)^2 = 72,25 - 56,25 = 16$
$h_{ц}/2 = \sqrt{16} = 4$ см.
Следовательно, высота цилиндра $h_{ц} = 2 \cdot 4 = 8$ см.
4. Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2\pi r_{ц} h_{ц} = 2\pi \cdot 7,5 \cdot 8 = 15\pi \cdot 8 = 120\pi$ см².

Ответ: $120\pi$ см².

2. Дано: усеченный конус с радиусами оснований $R$ и $r$ ($R>r$). Угол между диагональю осевого сечения и высотой конуса равен $\alpha$.
Найти: радиус шара $R_{ш}$, описанного около усеченного конуса.

Решение:
1. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны — образующие конуса $l$. Высота трапеции — это высота конуса $h$.
2. Диагональ осевого сечения $d$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен $h$, а второй катет равен сумме проекций радиусов на прямую, проходящую через центр большего основания, т.е. $R+r$. Угол между диагональю $d$ и высотой $h$ равен $\alpha$.
Из этого треугольника имеем:
$\tan \alpha = \frac{R+r}{h} \implies h = \frac{R+r}{\tan \alpha} = (R+r)\cot \alpha$.
3. Шар, описанный около усеченного конуса, имеет тот же радиус, что и окружность, описанная около его осевого сечения (трапеции). Радиус этой окружности ($R_{ш}$) можно найти по формуле для радиуса описанной окружности треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами трапеции.
Рассмотрим треугольник со сторонами $2R$ (большее основание трапеции), $l$ (боковая сторона) и $d$ (диагональ). Радиус описанной около него окружности (и всей трапеции) $R_{ш} = \frac{(2R) \cdot l \cdot d}{4 \cdot Area}$, где $Area$ — площадь этого треугольника. Площадь этого треугольника равна $Area = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = Rh$.
Тогда $R_{ш} = \frac{2Rld}{4Rh} = \frac{ld}{2h}$.
4. Выразим $l$ и $d$ через $R, r$ и $h$.
Длина диагонали $d$ из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R+r$:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$.
Длина образующей $l$ из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R-r$:
$l^2 = h^2 + (R-r)^2$.
5. Подставим эти выражения в формулу для $R_{ш}$:
$R_{ш}^2 = \frac{l^2 d^2}{4h^2} = \frac{(h^2 + (R-r)^2)(h^2 + (R+r)^2)}{4h^2}$.
Вспомним, что из пункта 2 мы можем выразить $d$ через $h$ и $\alpha$: $\cos \alpha = \frac{h}{d} \implies d = \frac{h}{\cos \alpha}$.
Подставим это в формулу $R_{ш} = \frac{ld}{2h}$:
$R_{ш} = \frac{l \cdot (h/\cos \alpha)}{2h} = \frac{l}{2\cos \alpha}$.
Отсюда $R_{ш}^2 = \frac{l^2}{4\cos^2 \alpha} = \frac{h^2 + (R-r)^2}{4\cos^2 \alpha}$.
6. Теперь подставим выражение для $h = (R+r)\cot \alpha$:
$R_{ш}^2 = \frac{((R+r)\cot \alpha)^2 + (R-r)^2}{4\cos^2 \alpha} = \frac{(R+r)^2\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + (R-r)^2}{4\cos^2\alpha}$
$R_{ш}^2 = \frac{(R+r)^2}{4\sin^2\alpha} + \frac{(R-r)^2}{4\cos^2\alpha}$.
Это выражение можно привести к более компактному виду:
$R_{ш}^2 = \frac{(R+r)^2\cos^2\alpha + (R-r)^2\sin^2\alpha}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$.
$R_{ш} = \frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)}$.

3. Дано: конус, вписанный в шар. Радиус основания конуса $r_{к} = 8$ см, радиус шара $R_{ш} = 10$ см.
Найти: высоту конуса $h_{к}$.

Решение:
1. Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Сечением шара является большой круг радиусом $R_{ш}$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2r_{к}$ и высотой $h_{к}$. Вершины треугольника лежат на окружности большого круга.
2. Пусть O — центр шара. Он лежит на оси конуса, которая является высотой равнобедренного треугольника в сечении. Пусть M — центр основания конуса. Тогда OM — расстояние от центра шара до плоскости основания конуса.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, проведенным к точке на окружности основания конуса (гипотенуза), радиусом основания конуса (катет) и отрезком OM (второй катет).
По теореме Пифагора:
$R_{ш}^2 = r_{к}^2 + OM^2$
$10^2 = 8^2 + OM^2$
$100 = 64 + OM^2$
$OM^2 = 100 - 64 = 36$
$OM = 6$ см.
4. Высота конуса $h_{к}$ состоит из отрезка OM и радиуса шара, проведенного к вершине конуса. Возможны два случая:
Случай 1: Центр шара O находится между вершиной конуса и его основанием. В этом случае конус "высокий".
Высота конуса равна сумме радиуса шара и расстояния OM:
$h_{к1} = R_{ш} + OM = 10 + 6 = 16$ см.
Случай 2: Основание конуса находится между вершиной конуса и центром шара. В этом случае конус "низкий" и целиком помещается в полушарие.
Высота конуса равна разности радиуса шара и расстояния OM:
$h_{к2} = R_{ш} - OM = 10 - 6 = 4$ см.
Оба случая являются решениями задачи.

Ответ: 16 см или 4 см.

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $49\pi$ см$^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Высота конуса равна 36 см, а радиус вписанного в него шара — 10 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 25 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1. Шар можно вписать в цилиндр, если высота цилиндра $H$ равна его диаметру $2R$. В этом случае радиус вписанного шара $r$ равен радиусу основания цилиндра $R$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$.

Подставим в формулу соотношение для цилиндра, описанного около шара: $H = 2R$.

$S_{бок} = 2\pi R(2R) = 4\pi R^2$.

По условию, $S_{бок} = 49\pi$ см². Приравняем и решим уравнение:

$4\pi R^2 = 49\pi$

$4R^2 = 49$

$R^2 = \frac{49}{4}$

$R = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3,5$ см.

Радиус вписанного шара $r$ равен радиусу основания цилиндра $R$. Следовательно, $r = 3,5$ см.

Ответ: $3,5$ см.

2. Рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписан шар. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота треугольника — это высота конуса $H = 36$ см, а радиус вписанной окружности — это радиус вписанного шара $r = 10$ см. Обозначим радиус основания конуса как $R$, а образующую — как $L$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$, по теореме Пифагора выполняется соотношение: $L^2 = H^2 + R^2$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Центр вписанной в конус сферы лежит на высоте конуса и является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой конуса. Из подобия этих треугольников следует соотношение: $\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$.

Подставим известные значения: $H=36$ см, $r=10$ см.

$\frac{10}{R} = \frac{36-10}{L} \Rightarrow \frac{10}{R} = \frac{26}{L} \Rightarrow L = 2,6R$.

Теперь подставим это выражение в теорему Пифагора $L^2 = H^2 + R^2$:

$(2,6R)^2 = 36^2 + R^2$

$6,76R^2 = 1296 + R^2$

$5,76R^2 = 1296$

$R^2 = \frac{1296}{5,76} = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Найдем образующую $L$:

$L = 2,6R = 2,6 \cdot 15 = 39$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi RL$.

$S_{бок} = \pi \cdot 15 \cdot 39 = 585\pi$ см².

Ответ: $585\pi$ см².

3. В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда его образующая $L$ равна сумме радиусов оснований $R_1$ и $R_2$. Это следует из свойства описанного четырехугольника (осевым сечением является равнобокая трапеция, описанная около окружности).

По условию, радиусы оснований $R_1 = 25$ см и $R_2 = 4$ см.

Найдем образующую $L$:

$L = R_1 + R_2 = 25 + 4 = 29$ см.

Высота усеченного конуса $H$ равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2r$, где $r$ - радиус шара.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса $H$, образующей $L$ и разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения:

$29^2 = H^2 + (25 - 4)^2$

$841 = H^2 + 21^2$

$841 = H^2 + 441$

$H^2 = 841 - 441 = 400$

$H = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара $r$:

$H = 2r \Rightarrow r = \frac{H}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: радиус шара $10$ см, образующая усеченного конуса $29$ см.