Номер 4, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите модуль вектора $\vec{d} = 4\vec{b} - 3\vec{a}$, если $\vec{a} (5; 2; 1)$, $\vec{b} (4; -1; 2)$.

2. Дан вектор $\vec{d} (-2; -6; 3)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, сонаправленного с вектором $\vec{d}$, если $|\vec{c}| = 14$.

3. Докажите, что четырёхугольник $DEFC$ с вершинами $D (6; -2; -3)$, $E (5; 1; 1)$, $F (2; 3; -4)$ и $C (5; -6; -16)$ является трапецией.

1.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{d} = 4\vec{b} - 3\vec{a}$, сначала необходимо вычислить координаты самого вектора $\vec{d}$.

Даны векторы $\vec{a}(5; 2; 1)$ и $\vec{b}(4; -1; 2)$.

1. Найдём координаты вектора $4\vec{b}$ путём умножения каждой координаты вектора $\vec{b}$ на 4:

$4\vec{b} = (4 \cdot 4; 4 \cdot (-1); 4 \cdot 2) = (16; -4; 8)$

2. Найдём координаты вектора $3\vec{a}$ путём умножения каждой координаты вектора $\vec{a}$ на 3:

$3\vec{a} = (3 \cdot 5; 3 \cdot 2; 3 \cdot 1) = (15; 6; 3)$

3. Вычислим координаты вектора $\vec{d}$ как разность векторов $4\vec{b}$ и $3\vec{a}$:

$\vec{d} = 4\vec{b} - 3\vec{a} = (16 - 15; -4 - 6; 8 - 3) = (1; -10; 5)$

4. Теперь найдём модуль (длину) вектора $\vec{d}(1; -10; 5)$ по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:

$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 100 + 25} = \sqrt{126}$

Можно упростить полученное значение: $\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$.

Ответ: $3\sqrt{14}$.

2.

По условию, вектор $\vec{c}$ сонаправлен с вектором $\vec{d}(-2; -6; 3)$. Это означает, что координаты вектора $\vec{c}$ пропорциональны координатам вектора $\vec{d}$ с положительным коэффициентом. То есть, существует такое число $k > 0$, что $\vec{c} = k \cdot \vec{d}$.

Выразим координаты вектора $\vec{c}$ через $k$:

$\vec{c} = (k \cdot (-2); k \cdot (-6); k \cdot 3) = (-2k; -6k; 3k)$

Модуль вектора $\vec{c}$ равен 14. Вычислим модуль вектора $\vec{c}$ через его координаты:

$|\vec{c}| = \sqrt{(-2k)^2 + (-6k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{4k^2 + 36k^2 + 9k^2} = \sqrt{49k^2}$

Поскольку $k > 0$, то $\sqrt{49k^2} = 7k$.

Приравниваем полученное выражение к заданному значению модуля:

$7k = 14$

$k = \frac{14}{7} = 2$

Теперь, зная значение $k$, найдём координаты вектора $\vec{c}$:

$\vec{c} = (-2 \cdot 2; -6 \cdot 2; 3 \cdot 2) = (-4; -12; 6)$

Ответ: $(-4; -12; 6)$.

3.

Четырёхугольник является трапецией, если две его противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Чтобы доказать, что четырёхугольник DEFC является трапецией, нужно найти векторы его сторон и проверить их на коллинеарность (параллельность).

Даны координаты вершин: $D(6; -2; -3)$, $E(5; 1; 1)$, $F(2; 3; -4)$ и $C(5; -6; -16)$.

Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника:

$\vec{DE} = (5-6; 1-(-2); 1-(-3)) = (-1; 3; 4)$

$\vec{EF} = (2-5; 3-1; -4-1) = (-3; 2; -5)$

$\vec{FC} = (5-2; -6-3; -16-(-4)) = (3; -9; -12)$

$\vec{CD} = (6-5; -2-(-6); -3-(-16)) = (1; 4; 13)$

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Сравним стороны DE и FC (векторы $\vec{DE}$ и $\vec{FC}$):

Для векторов $\vec{DE}(-1; 3; 4)$ и $\vec{FC}(3; -9; -12)$ проверим отношения координат:

$\frac{3}{-1} = -3$; $\frac{-9}{3} = -3$; $\frac{-12}{4} = -3$.

Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны ($\vec{FC} = -3\vec{DE}$), а значит, стороны DE и FC параллельны.

2. Сравним стороны EF и CD (векторы $\vec{EF}$ и $\vec{CD}$):

Для векторов $\vec{EF}(-3; 2; -5)$ и $\vec{CD}(1; 4; 13)$ проверим отношения координат:

$\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$; $\frac{4}{2} = 2$.

Так как $-\frac{1}{3} \neq 2$, отношения координат не равны, следовательно, векторы не коллинеарны, а значит, стороны EF и CD не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника DEFC одна пара противоположных сторон (DE и FC) параллельна, а другая пара (EF и CD) не параллельна, то по определению DEFC является трапецией.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник DEFC является трапецией.