Номер 1, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 4

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $N$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $B(3; -4; 1)$, $N(-2; 1; -4)$. Найдите координаты точки $A$, если:

1) $AN = NB$;

2) $AN : NB = 2 : 5$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек $A(-2; -3; -1)$ и $B(-1; -2; 4)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 8$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите расстояние от точки $D_1$ до центроида тетраэдра $AB_1BC$.

1) AN = NB;

Поскольку точка N принадлежит отрезку AB и AN = NB, точка N является серединой отрезка AB. Координаты точки A $(x_A, y_A, z_A)$ можно найти, используя формулы координат середины отрезка:
$x_N = \frac{x_A + x_B}{2} \implies x_A = 2x_N - x_B$
$y_N = \frac{y_A + y_B}{2} \implies y_A = 2y_N - y_B$
$z_N = \frac{z_A + z_B}{2} \implies z_A = 2z_N - z_B$
Подставим известные координаты точек B(3; -4; 1) и N(-2; 1; -4):
$x_A = 2 \cdot (-2) - 3 = -4 - 3 = -7$
$y_A = 2 \cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6$
$z_A = 2 \cdot (-4) - 1 = -8 - 1 = -9$
Таким образом, координаты точки A: (-7; 6; -9).
Ответ: A(-7; 6; -9)

2) AN : NB = 2 : 5;

Точка N делит отрезок AB в отношении 2:5, считая от точки A. Координаты точки N выражаются через координаты точек A и B следующим образом:
$x_N = \frac{5x_A + 2x_B}{2+5}$
$y_N = \frac{5y_A + 2y_B}{2+5}$
$z_N = \frac{5z_A + 2z_B}{2+5}$
Выразим из этих формул координаты точки A:
$7x_N = 5x_A + 2x_B \implies 5x_A = 7x_N - 2x_B \implies x_A = \frac{7x_N - 2x_B}{5}$
Аналогично для других координат:
$y_A = \frac{7y_N - 2y_B}{5}$
$z_A = \frac{7z_N - 2z_B}{5}$
Подставим известные координаты точек B(3; -4; 1) и N(-2; 1; -4):
$x_A = \frac{7 \cdot (-2) - 2 \cdot 3}{5} = \frac{-14 - 6}{5} = \frac{-20}{5} = -4$
$y_A = \frac{7 \cdot 1 - 2 \cdot (-4)}{5} = \frac{7 + 8}{5} = \frac{15}{5} = 3$
$z_A = \frac{7 \cdot (-4) - 2 \cdot 1}{5} = \frac{-28 - 2}{5} = \frac{-30}{5} = -6$
Таким образом, координаты точки A: (-4; 3; -6).
Ответ: A(-4; 3; -6)

2.

Пусть искомая точка M принадлежит оси ординат (оси OY). Тогда ее координаты равны (0; y; 0). Расстояние от точки M до точки A(-2; -3; -1) равно расстоянию от M до B(-1; -2; 4), то есть MA = MB. Удобнее использовать равенство квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.
Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
Найдем квадрат расстояния $MA^2$:
$MA^2 = (0 - (-2))^2 + (y - (-3))^2 + (0 - (-1))^2 = 2^2 + (y+3)^2 + 1^2 = 4 + y^2 + 6y + 9 + 1 = y^2 + 6y + 14$.
Найдем квадрат расстояния $MB^2$:
$MB^2 = (0 - (-1))^2 + (y - (-2))^2 + (0 - 4)^2 = 1^2 + (y+2)^2 + (-4)^2 = 1 + y^2 + 4y + 4 + 16 = y^2 + 4y + 21$.
Приравняем полученные выражения:
$y^2 + 6y + 14 = y^2 + 4y + 21$
$6y - 4y = 21 - 14$
$2y = 7$
$y = 3.5$
Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; 3.5; 0).
Ответ: (0; 3.5; 0)

3.

Введем систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0; 0; 0). Направим ось OX вдоль ребра AD, ось OY вдоль ребра AB, а ось OZ вдоль ребра $AA_1$.
Поскольку основание ABCD - квадрат со стороной AB = 8 см, а высота $AA_1 = 12$ см, координаты вершин будут следующими:
A(0; 0; 0)
B(0; 8; 0)
C(8; 8; 0)
D(8; 0; 0)
$A_1$(0; 0; 12)
$B_1$(0; 8; 12)
$D_1$(8; 0; 12)
Найдем координаты центроида M тетраэдра $AB_1BC$. Координаты центроида - это среднее арифметическое координат его вершин:
$x_M = \frac{x_A + x_{B_1} + x_B + x_C}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 8}{4} = 2$
$y_M = \frac{y_A + y_{B_1} + y_B + y_C}{4} = \frac{0 + 8 + 8 + 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$z_M = \frac{z_A + z_{B_1} + z_B + z_C}{4} = \frac{0 + 12 + 0 + 0}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Итак, центроид M имеет координаты (2; 6; 3).
Теперь найдем расстояние от точки $D_1$(8; 0; 12) до точки M(2; 6; 3) по формуле расстояния между двумя точками:
$d = \sqrt{(x_{D_1} - x_M)^2 + (y_{D_1} - y_M)^2 + (z_{D_1} - z_M)^2}$
$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (0 - 6)^2 + (12 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 9^2}$
$d = \sqrt{36 + 36 + 81} = \sqrt{153}$
Упростим корень: $153 = 9 \cdot 17$.
$d = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.
Ответ: $3\sqrt{17}$ см