Номер 22, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно $d$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $d$ от него (рис. 3). Найдите объём тела вращения.

Рис. 3

1.
Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в котором высота конуса $H$ является одним из катетов прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Угол между образующей и высотой равен $\alpha$.
Пусть $S$ – вершина конуса, $O$ – центр основания, $A$ – точка на окружности основания. Тогда $SO = H$, $OA = R$, $SA = l$. Треугольник $SOA$ – прямоугольный с $\angle SOA = 90^\circ$.
Угол между образующей $SA$ и высотой $SO$ равен $\angle ASO = \alpha$.
Расстояние от центра основания $O$ до образующей $SA$ – это длина перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на прямую $SA$. По условию, $OK = d$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ ($\angle OK S = 90^\circ$). В нём:
$\sin(\angle KSO) = \frac{OK}{SO} \implies \sin(\alpha) = \frac{d}{H}$.
Отсюда находим высоту конуса $H$:
$H = \frac{d}{\sin(\alpha)}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В нём:
$\tan(\angle ASO) = \frac{OA}{SO} \implies \tan(\alpha) = \frac{R}{H}$.
Отсюда находим радиус основания $R$:
$R = H \tan(\alpha) = \frac{d}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d}{\cos(\alpha)}$.
Теперь можем найти объём конуса, подставив выражения для $H$ и $R$:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{d}{\cos(\alpha)}\right)^2 \left(\frac{d}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{d^2}{\cos^2(\alpha)} \frac{d}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi d^3}{3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}$.
Ответ: $V = \frac{\pi d^3}{3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)}$.

2.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.
По условию, образующая цилиндра равна 7 см. Так как образующая цилиндра равна его высоте, то $H = 7$ см.
Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H = 7$ см, а другая – хорде $a$ в основании цилиндра.
Диагональ этого прямоугольника-сечения равна $D = 25$ см. По теореме Пифагора для прямоугольника-сечения:
$D^2 = H^2 + a^2$.
$25^2 = 7^2 + a^2$
$625 = 49 + a^2$
$a^2 = 625 - 49 = 576$
$a = \sqrt{576} = 24$ см.
Таким образом, длина хорды в основании равна 24 см.
Расстояние от оси цилиндра до сечения – это расстояние от центра основания до этой хорды, оно равно $d = 5$ см.
Рассмотрим основание цилиндра. В круге радиусом $R$ проведена хорда $a = 24$ см на расстоянии $d = 5$ см от центра. Радиус $R$, расстояние до хорды $d$ и половина хорды $(a/2)$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ – гипотенуза.
По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + (a/2)^2$
$R^2 = 5^2 + (24/2)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Теперь мы можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 169 \cdot 7 = 1183\pi$ см$^3$.
Ответ: $V = 1183\pi$ см$^3$.

3.
Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры: $V = 2\pi R_c A$, где $A$ – площадь фигуры, а $R_c$ – расстояние от центроида до оси вращения.
Вращаемая фигура – равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом при основании $\alpha$.
1. Найдём площадь треугольника $A$.
Проведём высоту $h$ к основанию. Высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $b$ и острым углом $\alpha$.
Высота треугольника: $h = b \sin(\alpha)$.
Половина основания: $a/2 = b \cos(\alpha)$.
Основание: $a = 2b \cos(\alpha)$.
Площадь треугольника: $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\alpha)) \cdot (b \sin(\alpha)) = b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.
2. Найдём расстояние от центроида до оси вращения $R_c$.
Центроид треугольника находится на его высоте на расстоянии $\frac{1}{3}h$ от основания.
Расстояние от центроида до основания равно $\frac{1}{3}h = \frac{1}{3}b \sin(\alpha)$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию и находится на расстоянии $d$ от него (на противоположной стороне от вершины). Таким образом, расстояние от центроида до оси вращения $m$ равно сумме расстояния от оси до основания ($d$) и расстояния от основания до центроида ($\frac{1}{3}h$).
$R_c = d + \frac{1}{3}h = d + \frac{1}{3}b \sin(\alpha)$.
3. Вычислим объём тела вращения.
$V = 2\pi R_c A = 2\pi \left( d + \frac{1}{3}b \sin(\alpha) \right) (b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))$.
Упростим выражение:
$V = 2\pi b^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \left( \frac{3d + b \sin(\alpha)}{3} \right) = \frac{2\pi b^2}{3} (3d + b \sin(\alpha)) \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим:
$V = \frac{\pi b^2}{3} (3d + b \sin(\alpha)) \sin(2\alpha)$.
Ответ: $V = \frac{\pi b^2}{3} (3d + b \sin(\alpha)) \sin(2\alpha)$.